2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 第2节 任意的三角函数 第2课时 三角函数及其应用

第2课时三角函数及其应用一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P15～P17的内容，回答下列问题．(1)观察教材P16的图1.2­7，有向线段MP，OM，AT的方向是如何规定的？提示：当方向与x轴或y轴的方向一致时，则有向线段MP，OM，AT的方向为正；当方向与x轴或y轴的方向相反时，则有向线段MP，OM，AT的方向为负．(2)观察教材P16的图1.2­7，你认为sinα，cosα，tanα与有向线段MP，OM，AT有什么关系？提示：|sin_α|＝|MP|，|cos_α|＝|OM|，|tan_α|＝|AT|．二、归纳总结·核心必记1.有向线段带有方向的线段，叫做有向线段．2.三角函数线图示正弦线α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段即为正弦线MP续表余弦线有向线段即为余弦线正切线过A(1，0)作x轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段即为正切线OMAT三、综合迁移·深化思维(1)三角函数线的长度等于三角函数的值吗？提示：不等于，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值．(2)三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗？提示：能，当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时，所表示三角函数值为正的，与x轴(或y轴)正向反向时，所表示三角函数值为负的．探究点一作已知角的三角函数线[典例精析]1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)－π4；(2)17π6；(3)10π3.[解]如图．其中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线．[类题通法]三角函数线的作法步骤(1)作直角坐标系和角的终边．(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A.(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M.(4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T.(5)有向线段MP，OM，AT即分别为角的正弦线，余弦线和正切线．[针对训练]1．作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线．解：如图所示，－9π4的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.探究点二利用三角函数线解简单不等式[典例精析]2．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sinα≥32；(2)cosα≤－12.[解](1)如图①所示，作直线y＝32交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z.(2)如图②所示，作直线x＝－12交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为α|2kπ＋2π3≤α≤2kπ＋4π3，k∈Z.[类题通法]利用三角函数线解三角不等式的方法正弦、余弦型不等式的解法对于sinx≥b，cosx≥a(sinx≤b，cosx≤a)，求解关键是寻求恰当的点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围正切型不等式的解法对于tanx≥c，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围[针对训练]2．利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围．(1)sinα＜－12；(2)cosα＞32.解：(1)如图①，过点0，－12作x轴的平行线交单位圆于P，P′两点，则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝－12，∠xOP＝11π6，∠xOP′＝7π6，故α的范围是α|7π6＋2kπ＜α＜11π6＋2kπ，k∈Z.(2)如图②，过点32，0作x轴的垂线与单位圆交于P，P′两点，则cos∠xOP＝cos∠xOP′＝32，∠xOP＝π6，∠xOP′＝－π6，故α的范围是α|－π6＋2kπ＜α＜π6＋2kπ，k∈Z.探究点三利用三角函数线比较大小[典例精析]3．(1)下列关系式中正确的是()A．sin10°＜cos10°＜sin160°B．sin160°＜sin10°＜cos10°C．sin10°＜sin160°＜cos10°D．sin160°＜cos10°＜sin10°(2)设a＝sin5π7，b＝cos2π7，c＝tan2π7，则a，b，c的大小顺序排列为________．[解](1)由三角函数线知，sin160°＝sin20°＞sin10°，而cos10°＞sin20°，所以选C.(2)由如图的三角函数线知：M1P1＝MP＜AT，因为2π7＞2π8＝π4，所以MP＞OM，所以cos2π7＜sin2π7＜tan2π7，所以b＜a＜c.答案：(1)C(2)b＜a＜c[类题通法]1.利用三角函数线比较大小的步骤（1）角的位置要“对号入座”；（2）比较三角函数线的长度；（3）确定有向线段的正负．2.利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：（1）关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．（2）注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．[针对训练]3．设π4＜α＜π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2＜α＜3π4，上述长度关系又如何？解：如图所示，当π4＜α＜π2时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，AT＞MP＞OM；当π2＜α＜3π4时，角α的正弦线为M′P′，余弦线为OM′，正切线为AT′，显然在长度上，AT′＞M′P′＞OM′.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小问题，难点是对三角函数线概念的理解．2．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题(1)三角函数线的画法，见探究点一；(2)利用三角函数线解简单不等式，见探究点二；(3)利用三角函数线比较大小，见探究点三.3．理解三角函数线应注意以下四点(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；(3)正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值；(4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．