2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 4 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定

4．1&4.2单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性1．正弦、余弦函数是怎样定义的？§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式一、预习教材·问题导入2．正弦、余弦函数在各象限的符号是什么？3．周期函数的定义是什么？4．正弦、余弦函数的周期性怎样？1．正弦、余弦函数的定义(1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的_________叫作角α的正弦函数，记作；点P的________叫作角α的余弦函数，记作.(2)正弦函数v＝sinα、余弦函数v＝cosα的定义域为全体实数．纵坐标v横坐标uu＝cosαv＝sinα二、归纳总结·核心必记[点睛](1)sinα与cosα值的大小只与角α终边与单位圆交点P的坐标(u，v)有关，其中sinα＝v，cosα＝u.(2)sinα不是sin与α的积，是一个三角函数的记号，是一个整体．2．正弦、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sinα＋－cosα＋－＋－－＋[点睛]sinα与cosα的值的符号取决于α的终边所在的象限．3．单位圆与周期性(1)正(余)弦函数值的周期性①公式：sin(x＋k·2π)＝，k∈Z；cos(x＋k·2π)＝，k∈Z.②意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别．sinxcosx相等(2)周期函数①定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝，把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的．②最小正周期：对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．f(x)周期1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角的同名三角函数值相等()(2)若sinα＞0，则α是第一、二象限角()(3)函数f(x)＝|x|满足f(－1＋2)＝f(－1)，则这个函数的周期为－1()(4)若T是函数ƒ(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．()×√×√三、基本技能·素养培优2．已知角α的终边与单位圆交于点－32，－12，则sinα的值为()A．－32B．－12C.32D.12解析：选B根据三角函数的定义，角α的终边与单位圆交点的纵坐标为角α的正弦值．3．若sinα＜0，cosα＞0，则角α的终边位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D由sinα＜0，cosα＞0知α的终边位于第四象限．4．已知角α的终边上有一点(－1,2)，则cosα＝________.解析：cosα＝－1－12＋22＝－55.答案：－55[典例]如图，∠AOP＝π3，点Q与点P关于y轴对称，P，Q都为角的终边与单位圆的交点，求：(1)点P的坐标；(2)∠AOQ的正弦函数值、余弦函数值．考点一正弦、余弦函数的定义[解](1)设点P的坐标为(x，y)，则x＝cos∠AOP＝cosπ3＝12，y＝sin∠AOP＝sinπ3＝32.故点P的坐标为12，32.(2)∵点P与点Q关于y轴对称，∴点Q的坐标为－12，32.根据正弦函数、余弦函数的定义可知sin∠AOQ＝32，cos∠AOQ＝－12.[类题通法]利用定义求α的三角函数值，其关键是求出角的终边与单位圆的交点P的坐标(u，v)，由三角函数的定义得sinα＝v，cosα＝u.[针对训练]1.在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点1213，513和－35，45，那么sinαcosβ＝()A．－3665B．－313C.413D.4865解析：选B∵角α，β的终边与单位圆分别交于点1213，513和－35，45，故由定义知sinα＝513，cosβ＝－35，∴sinαcosβ＝513×－35＝－313.2．设a0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a,4a)，那么sinα＋2cosα的值等于()A.25B．－25C.15D．－15解析：选A∵点P在单位圆上，则|OP|＝1.即－3a2＋4a2＝1，解得a＝±15.∵a0，∴a＝－15.∴P点的坐标为35，－45.∴sinα＝－45，cosα＝35.∴sinα＋2cosα＝－45＋2×35＝25.[典例](1)判断sin2·cos3sin4·cos6的符号；(2)若sinα＞0，cosα＜0，判断角α所在象限．[解](1)∵2∈π2，π，3∈π2，π，4∈π，3π2，6∈3π2，2π，∴sin2＞0，cos3＜0，sin4＜0，cos6＞0.∴sin2·cos3sin4·cos6＞0.考点二有关三角函数值的符号问题(2)∵sinα＞0，∴α的终边在一、二象限或y轴的正半轴上；∵cosα＜0，∴α的终边在二、三象限或x轴的负半轴上．故当sinα＞0且cosα＜0时，α在第二象限．[类题通法](1)正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括为“正弦上为正、余弦右为正”，即当角α的终边在x轴的上方时sinα0；当角α的终边在y轴的右侧时，cosα0.(2)对于确定角α所在象限的问题，应首先确定题目中所有三角函数的符号，然后根据各三角函数的符号来确定角α所在象限，则它们的公共象限即为所求．(3)由kπθkπ＋π2(k∈Z)确定θ所在象限时应对k进行分类讨论．[针对训练]1．[变条件]本例(2)中条件变为sinαcosα＜0，问题不变．解：由sinαcosα＜0知sinα＞0，cosα＜0或sinα＜0，cosα＞0.故α的终边在二、四象限．2．[变条件]本例(2)条件变为若点P(sinα，cosα)在第三象限，问题不变．解：由条件知sinα＜0，cosα＜0，故α终边在第三象限．3．[变设问]本例(2)条件不变，设问变为α2终边在第几象限？解：由sinα＞0，cosα＜0知α的终边在第二象限，即2kπ＋π2＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋π4＜α2＜kπ＋π2(k∈Z)，∴α2终边在第一、三象限．[典例]求下列三角函数值．(1)cos(－1050°)；(2)sin－31π4.解：(1)∵－1050°＝－3×360°＋30°，∴－1050°的角与30°的角终边相同．∴cos(－1050°)＝cos30°＝32.(2)∵－31π4＝－4×2π＋π4，∴角－31π4与角π4的终边相同．∴sin－31π4＝sinπ4＝22.考点三利用2kπ＋α(k∈Z)的正、余弦公式求值[类题通法]利用公式sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα(k∈Z)，可以把任意角的正弦、余弦函数值问题转化为0～2π间的角的正弦、余弦函数值问题．从该公式可以看出，在求三角函数值的时候，2π或360°的整数倍可以直接去掉，从而方便化简或计算．[针对训练]求下列各式的值：(1)cos25π3＋sin－15π4；(2)sin810°＋cos765°＋sin1125°＋cos360°.解：(1)原式＝cos8π＋π3＋sin－4π＋π4＝cosπ3＋sinπ4＝1＋22.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋cos(2×360°＋45°)＋sin(3×360°＋45°)＋cos(0°＋360°)＝sin90°＋cos45°＋sin45°＋cos0°＝2＋2.[典例](1)设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，则f72的值为()A．2B．0C．－1D．－3(2)已知定义在R上的偶函数f(x)是最小正周期为π的周期函数，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3的值是________．考点四函数的周期性[解析](1)f72＝f4－12＝f－12＝2×－12＋1＝0.(2)由已知，得f5π3＝f5π3－2π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.[答案](1)B(2)32[类题通法](1)由周期函数的定义知，若一函数是周期函数，则它的周期有无数多个，一般研究时只考虑其最小正周期．(2)不是所有周期函数都有最小正周期，如：函数f(x)＝1是周期函数但无最小正周期．[针对训练]已知f(x＋3)＝－1fx，判断f(x)是否为周期函数，并求出它的一个周期．解：∵f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－1fx＋3＝－1－1fx＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且6是它的一个周期．