2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin（ωx+φ）第1课时 函数

1．5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第1课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换第一章三角函数考点学习目标核心素养“五点法”作图会用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象直观想象三角函数的图象变换会通过变换由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象逻辑推理、直观想象第一章三角函数问题导学预习教材P49－P53，并思考下列问题：1．如何用y＝sinx的图象变换为y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象？2．如何用y＝sinx的图象变换为y＝Asinx(A0且A≠1)的图象？3．如何用y＝sinx的图象变换为y＝sinωx(ω0且ω≠1)的图象？A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响―→y＝sin（x＋φ）的图象(2)ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响y＝sin（x＋φ）的图象上所有点的横坐标原来的1ω倍→y＝sin（ωx＋φ）的图象ω＞1时缩短到0＜ω＜1时伸长到→(3)A(A＞0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响y＝sin（ωx＋φ）的图象上所有点的纵坐标A＞1时伸长到0＜A＜1时缩短到原来的A倍→y＝Asin（ωx＋φ）的图象■名师点拨A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．(2)|ω|越大，函数图象的周期越小，|ω|越小，周期越大，周期与|ω|为反比例关系．(3)φ0时，函数图象向左平移，φ0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将函数y＝sinx的图象向左平移π2个单位，得到函数y＝cosx的图象．()(2)将函数y＝sinx图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sinx的图象．()(3)把函数y＝cosx图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝cos3x的图象．()答案：(1)√(2)√(3)×将函数y＝12cosx图象上各点的纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变，得到的函数解析式为()A．y＝4cosxB．y＝2cosxC．y＝cosxD．y＝14cosx答案：B要得到函数y＝sinx－π6的图象，可以将函数y＝sinx的图象()A．向左平移π6个单位长度B．向右平移π6个单位长度C．向左平移16个单位长度D．向右平移16个单位长度答案：B将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得________的图象．答案：y＝sin4x已知函数y＝3sinx2＋π6＋3(x∈R)，用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的简图【解】(1)列表：x－π32π35π38π311π3x2＋π60π2π3π22πy36303(2)描点画图：1．[变条件]将本例函数解析式中的x2改为x，其他条件不变，结果如何？解：(1)列表：x－π6π35π64π311π6x＋π60π2π3π22πy36303(2)描点画图：2．[变条件]将本例函数解析式中的π6改为π3，其他条件不变，结果如何？解：(1)列表：x－2π3π34π37π310π3x2＋π30π2π3π22πy36303(2)描点画图：(1)“五点法”作图的实质利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．(2)“五点法”作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是：①计算x取端点值时的ωx＋φ的范围；②取出ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值；③利用ωx＋φ的值计算y值；④描点(x，y)，连线得到函数图象．用“五点法”作出函数y＝2sinx－π3＋3的图象．解：①列表如下：xπ356π43π116π73πx－π30π2π32π2πy35313②描点．③连线成图．将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展即得y＝2sinx－π3＋3的图象．如图所示．(1)有下列四种变换方式：①向左平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)；②横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π8个单位长度；③横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度；三角函数的图象变换④向左平移π8个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)．其中能将正弦函数y＝sinx的图象变为y＝sin2x＋π4的图象的是()A．①和②B．①和③C．②和③D．②和④(2)(2018·高考天津卷改编)将函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数解析式为__________．【解析】(1)①向左平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，则正弦函数y＝sinx的图象变为y＝sin2x＋π4的图象；②横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π8个单位长度，正弦函数y＝sinx的图象变为y＝sin2x＋π8＝sin2x＋π4的图象；③横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度，正弦函数y＝sinx的图象变为y＝sin2x＋π4＝sin2x＋π2的图象；④向左平移π8个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，正弦函数y＝sinx的图象变为y＝sin2x＋π8的图象，因此①和②符合题意，故选A.(2)函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y＝sin2x－π10＋π5＝sin2x.【答案】(1)A(2)y＝sin2x(1)图象平移变换的方法①确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．②当x的系数是1时，若φ＞0，则左移φ个单位；若φ＜0，则右移|φ|个单位．③当x的系数是ω(ω＞0)时，若φ＞0，则左移φω个单位；若φ＜0，则右移|φ|ω个单位．(2)三角函数图象伸缩变换的方法法一：y＝A1sinω1x――――――――――――――→纵坐标变为原来的倍横坐标不变y＝A2sinω1x―――――――――――――――→横坐标变为原来的倍纵坐标不变y＝A2sinω2x.法二：y＝A1sinω1x――――――――――――――――→横坐标变为原来的倍纵坐标不变y＝A1sinω2x―――――――――――――――→纵坐标变为原来的倍横坐标不变y＝A2sinω2x.A2A1ω1ω2ω1ω2A2A11．将函数y＝sinx的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是()A．y＝sinx－π4＋2B．y＝sinx＋π4－2C．y＝sinx－π4－2D．y＝sinx＋π4＋2解析：选D.向左平移π4个单位长度得y＝sinx＋π4，再向上平移2个单位长度得y＝sinx＋π4＋2，故选D.2．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()A．y＝sin2x－π10B．y＝sin2x－π5C．y＝sin12x－π10D．y＝sin12x－π20解析：选C.将y＝sinx的图象向右平移π10个单位长度得到y＝sinx－π10的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin12x－π10的图象．3．要得到函数y＝3sin2x的图象，可将函数y＝3cos2x－π4的图象()A．沿x轴向左平移π8个单位长度B．沿x轴向右平移π8个单位长度C．沿x轴向左平移π4个单位长度D．沿x轴向右平移π4个单位长度解析：选B.由于函数y＝3sin2x＝3cos2x－π2＝3cos2x－π8－π4，所以将函数y＝3cos2x－π4的图象沿x轴向右平移π8个单位长度，即可得到函数y＝3sin2x的图象．1．要得到y＝tanx的图象，只需把y＝tanx＋π6的图象()A．向左平移π6个单位B．向左平移π12个单位C．向右平移π12个单位D．向右平移π6个单位答案：D2．将函数y＝sinx－π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数____________的图象．解析：y＝sinx－π3的图象―――――――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y＝sin15x－π3的图象．答案：y＝sin15x－π33．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y＝12sinx的图象相同，求f(x)的解析式．解：逆向思维，y＝12sinx―――――――――――――→向右平移π2个单位长度y＝12sinx－π2―――――――――――→横坐标变为原来的12倍y＝12sin2x－π2，即f(x)＝12sin2x－π2.