2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正

1．4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性第一章三角函数考点学习目标核心素养函数的周期性了解周期函数的概念数学抽象正、余弦函数的周期性理解正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期数学抽象、数学运算正、余弦函数的奇偶性理解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性逻辑推理第一章三角函数问题导学预习教材P34－P37，并思考下列问题：1．周期函数的定义是什么？2．如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？3．正、余弦函数的奇偶性分别是什么？1．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个____________，使得当x取定义域内的每一个值时，都有______________，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的______，那么这个最小______就叫做f(x)的____________．非零常数Tf(x＋T)＝f(x)正数正数最小正周期■名师点拨对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sinxy＝cosx图象定义域RR周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期________奇偶性________________2π2π奇函数偶函数■名师点拨(1)正、余弦函数的周期性①正弦函数和余弦函数所具有的周期性实质上是由终边相同的角具有的周期性所决定的；②由诱导公式sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)，cos(x＋2kπ)＝cosx(k∈Z)也可以说明它们的周期性．(2)关于正、余弦函数的奇偶性①正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称；②正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sinπ4＋π2＝sinπ4，则π2是正弦函数y＝sinx的一个周期．()(2)函数y＝sinx，x∈(－π，π]是奇函数．()(3)因为sin(2x＋2π)＝sin2x，所以函数y＝sin2x的最小正周期为2π.()(4)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√下列函数中，最小正周期为4π的是()A．y＝sinxB．y＝cosxC．y＝sinx2D．y＝cos2x答案：C函数y＝2sin2x＋π2是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数答案：B若函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(－1)＝2017，则f(2)＝________．答案：2017求下列三角函数的最小正周期T：(1)f(x)＝sinx＋π3；(2)f(x)＝12cos(2x＋π3)；(3)f(x)＝|sinx|.正、余弦函数的周期问题【解】(1)令z＝x＋π3，因为sin(2π＋z)＝sinz，所以f(2π＋z)＝f(z)，f（x＋2π）＋π3＝fx＋π3，所以T＝2π.(2)法一(定义法)：因为f(x)＝12cos(2x＋π3)＝12cos(2x＋π3＋2π)＝12cos[2(x＋π)＋π3]＝f(x＋π)，即f(x＋π)＝f(x)，所以函数f(x)＝12cos(2x＋π3)的最小正周期T＝π.法二(公式法)：因为f(x)＝12cos(2x＋π3)，所以ω＝2.又最小正周期T＝2π|ω|＝2π2＝π，所以函数f(x)＝12cos(2x＋π3)的最小正周期T＝π.(3)法一：因为f(x)＝|sinx|，所以f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sinx|＝|sinx|＝f(x)，故f(x)的最小正周期为π.法二：画出函数y＝|sinx|的图象，如图所示，由图象可知最小正周期T＝π.求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)的函数，可利用T＝2πω来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．1．设函数f(x)＝sin2x－π3，则f(x)的最小正周期为()A.π2B．πC．2πD．4π解释：选B.函数f(x)＝sin2x－π3的最小正周期T＝2π2＝π.故选B.2．设a＞0，若函数y＝sin(ax＋π)的最小正周期是π，则a＝________．解析：由题意知T＝2π|a|＝π，所以a＝2.答案：2判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝cos2x＋5π2；(2)f(x)＝sin(cosx)．正、余弦函数的奇偶性问题【解】(1)函数的定义域为R，且f(x)＝cosπ2＋2x＝－sin2x.因为f(－x)＝－sin(－2x)＝sin2x＝－f(x)，所以函数f(x)＝cos2x＋5π2是奇函数．(2)函数的定义域为R，且f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)，所以函数f(x)＝sin(cosx)是偶函数．利用定义判断函数奇偶性的三个步骤[注意]若函数f(x)的定义域不关于原点对称，无论f(－x)与f(x)有何关系，f(x)仍然是非奇非偶函数．1．函数y＝3－cosx的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线x＝π2对称解析：选B.因为函数y＝3－cosx是偶函数，所以图象关于y轴对称．2．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|sinx|＋cosx；(2)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sinx.解：(1)函数的定义域为R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(2)函数的定义域为R，关于原点对称，因为f(x)＝cosx－x3·sinx，所以f(－x)＝cos(－x)－(－x)3·sin(－x)＝cosx－x3·sinx＝f(x)，所以f(x)为偶函数．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3等于()A．－12B.12C．－32D.32三角函数的奇偶性与周期性解三角形【解析】f5π3＝f5π3－π＝f2π3＝f2π3－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.【答案】D1．[变条件]若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，求f5π3的值．解：f53π＝f－π3＝－fπ3＝－sinπ3＝－32.2．[变条件、变设问]若本例中函数的最小正周期变为π2，其他条件不变，求f－176π的值．解：因为f(x)的最小正周期是π2，所以f－176π＝f－3π＋π6＝f－6×π2＋π6＝fπ6＝12.关于周期性、奇偶性的应用(1)利用周期性可以将绝对值较大的角变为较小的角，其作用类似于诱导公式(一)，不同在于周期性适用于所有的函数，诱导公式(一)只适用于三角函数．(2)奇偶性在求值中的作用在于自变量正负值的转化，即f(x)与f(－x)之间的转化求值．函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)＝2，则f(22)＝________．解析：f(22)＝f(2×10＋2)＝f(2)＝2.答案：21．设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数解析：选B.f(x)＝sin2x－π2＝－sinπ2－2x＝－cos2x，因此f(x)是偶函数，且是最小正周期为2π2＝π的周期函数，故选B.2．函数f(x)＝2cos2x＋1的图象关于________对称(填“原点”或“y轴”)．解析：函数的定义域为R，f(－x)＝2cos2(－x)＋1＝2cos(－2x)＋1＝2cos2x＋1＝f(x)，故f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称．答案：y轴3．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sin3x4＋3π2；(2)f(x)＝sin|x|；解：(1)显然x∈R，f(x)＝sin3x4＋3π2＝－cos3x4，所以f(－x)＝－cos－3x4＝－cos3x4＝f(x)，所以函数f(x)＝sin3x4＋3π2是偶函数．(2)显然x∈R，f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．