2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第1课时 三角函数的诱

1.3三角函数的诱导公式第1课时三角函数的诱导公式(一)目标定位重点难点1.理解诱导公式的推导方法2.准确牢记诱导公式一～四3.掌握诱导公式一～四并灵活运用重点：掌握诱导公式一～四并灵活运用难点：诱导公式的推导方法及公式的灵活应用诱导公式—～四－sinα－cosαtanα－sinαcosα－tanαsinα－cosα－tanα1．想一想诱导公式中的角α只能是锐角吗？【解析】角α不仅仅是锐角，可以是任意角．2．已知α为三角形的一个内角且tan(π－α)＝3，则α的值为()A.π6B．π3C.2π3D．5π6【答案】C3．下列各式不正确的是()A．sin(α＋180°)＝－sinαB．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)C．sin(－α－360°)＝－sinαD．cos(－α－β)＝cos(α＋β)【答案】B4．cos－20π3等于()A.12B．32C．－12D．－32【答案】C给角求值【例1】求下列各三角函数值：(1)sin1320°；(2)cos－31π6；(3)tan(－765°)．【解题探究】利用诱导公式将负角化为正角，进而再转化为锐角三角函数求值．【解析】(1)sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.(2)cos－31π6＝cos31π6＝cos4π＋7π6＝cosπ＋π6＝－cosπ6＝－32.(3)tan(－765°)＝－tan765°＝－tan(45°＋2×360°)＝－tan45°＝－1.【方法规律】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)(2019年广东江门期末)sin－196π＝()A．－12B．12C．－32D．32(2)cos690°的值为()A．12B．－12C．32D．－32【答案】(1)B(2)C【解析】(1)sin－196π＝sin－4π＋56π＝sin56π＝sinπ6＝12.故选B．(2)cos690°＝cos(720°－30°)＝cos(－30°)＝cos30°＝32.故选C．给值(式)求值【例2】设tan(5π＋α)＝m，则sinα－3π＋cosπ－αsin－α－cosπ＋α的值为()A．m－1m＋1B．－1C．m＋1m－1D．1【解题探究】利用诱导公式，再将所求值的关系式转化为关于tanα的关系式即可．【答案】C【解析】∵tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m.∴sinα－3π＋cosπ－αsin－α－cosπ＋α＝－sinα－cosα－sinα＋cosα＝tanα＋1tanα－1＝m＋1m－1.故选C．【方法规律】(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化．(2018年安徽合肥二模)在直角坐标系中，若角α的终边经过点Psin5π3，cos5π3，则sin(π＋α)＝()A．－12B．－32C．12D．32【答案】A【解析】∵角α终边经过点Psin5π3，cos5π3，即点P－32，12，∴x＝－32，y＝12，r＝|OP|＝1，则sin(π＋α)＝－sinα＝－yr＝－12.故选A．利用诱导公式进行化简、求值【例3】若cosα＝23，α是第四象限角，求sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3πcosπ－α－cos－π－αcosα－4π的值．【解题探究】根据α是第四象限的角，由cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，然后把所求的式子分子分母分别利用诱导公式化简，分子提取sinα，分母提取－cosα，约分后利用同角三角函数间的基本关系化为关于tanα的式子，把tanα的值代入即可求出值．【解析】∵α是第四象限角，cosα＝23，∴sinα＝－1－cos2α＝－1－232＝－53，∴tanα＝－52.则原式＝sinα＋sinα－cosα－cosα－－cosαcosα＝sinα1－cosα－cosα1－cosα＝－tanα＝52.【特别提醒】此题考查了诱导公式，同角三角函数间的基本关系．熟练掌握公式是解本题的关键．学生做题时注意α的范围．此类问题依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．已知tanx＝2，求2sinπ＋xcosπ－x－cosπ＋x1＋sin2x＋sinπ－x－cos2π－x的值．【解析】2sinπ＋xcosπ－x－cosπ＋x1＋sin2x＋sinπ－x－cos2π－x＝－2sinx－cosx＋cosx1＋sin2x＋sinx－cos2x＝cosx2sinx＋12sin2x＋sinx＝cosx2sinx＋1sinx2sinx＋1＝1tanx.由于tanx＝2，则原式＝12.转化与化归思想【示例】已知α是第三象限角且f(α)＝tanπ－αcos2π－αcos－α＋πcos－α－πtan－π－α.(1)化简f(α)；(2)若α＝－1920°，求f(α)的值．【思路点拨】(1)利用诱导公式即可化简求值；(2)利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得解．【解析】(1)f(α)＝tanπ－αcos2π－αcos－α＋πcos－α－πtan－π－α＝－tanαcosα－cosα－cosα－tanα＝cosα.(2)∵α＝－1920°＝－360°×5－120°，∴cosα＝cos(－1920°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12.∴f(α)＝－12.【题后反思】诱导公式一～四的作用在于化任意角的三角函数为范围内的角的三角函数．其步骤可简记为“负化正，大化小”，充分体现了将未知化为已知的转化与化归思想．1．记忆诱导公式一～四的口诀是“函数名不变，符号看象限”，其含义是公式两边的函数名称不变，符号则是将角α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．2．公式一～四的作用(1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任意一角的三角函数问题转化为研究绝对值小于2π的角的三角函数问题．(2)公式三的作用在于把负角三角函数转化成正角三角函数．(3)公式二、四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．1．(2019年四川遂宁期末)sin210°＋cos(－60°)＝()A．0B．1C．－1D．2【答案】A【解析】sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－12，cos(－60°)＝cos60°＝12，所以sin210°＋cos(－60°)＝－12＋12＝0.故选A．2．(2019年湖南长沙期末)sin4π3·cos5π6·tan－4π3的值是()A．－334B．334C．－34D．34【答案】A【解析】sin4π3＝－sinπ3＝－32，cos5π6＝－cosπ6＝－32，tan－4π3＝－tan4π3＝－tanπ3＝－3，所以原式＝－32×－32×(－3)＝－334.故选A．3．(2019年黑龙江哈尔滨月考)若sin(π＋A)＝－12，那么sin(6π－A)＝()A．12B．－12C．－32D．32【答案】B【解析】因为sin(π＋A)＝－sinA，sin(6π－A)＝sin(－A)＝－sinA，所以sin(6π－A)＝sin(π＋A)＝－12.故选B．4．在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作锐角α，它的终边和单位圆交于点Ax，35，则tan(π－α)＝________.【答案】－34【解析】x＝45，tanα＝34.tan(π－α)＝－tanα＝－34.