2019-2020学年高中数学 第一章 立体几何初步 7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体

7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积[学习目标]1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式及公式之间的联系．2.会运用柱体、锥体、台体的体积公式进行有关体积的计算.课前自主学习【主干自填】柱、锥、台的体积公式几何体公式说明柱体V柱体＝S为柱体的底面积h为柱体的高锥体V锥体＝S为锥体的底面积h为锥体的高台体V台体＝S上，S下分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高□01Sh□0213Sh□0313(S上＋S下＋S上·S下)·h【即时小测】1．思考下列问题(1)仿照侧面积公式，你能用底面半径和高来表示圆柱、圆锥和圆台的体积公式吗？提示：①底面半径是r，高是h的圆柱的体积是：V圆柱＝πr2h.②如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是：V圆锥＝13πr2h.③如果圆台上、下底面半径分别是r′、r，高是h，那么它的体积是：V圆台＝13πh(r2＋rr′＋r′2)．提示(2)柱、锥、台体的体积公式之间有什么关系吗？提示：其中S上，S下分别为台体的上、下底面面积，h为高，S为柱体或锥体的底面面积．提示2．正方体的表面积为96，则正方体的体积是()A．486B．64C．16D．96提示：B设正方体棱长为a则6a2＝96，a＝4，V正方体＝a3＝64.提示3．圆锥的高扩大为原来的n倍，底面半径缩小为原来的1n，那么它的体积变为原来的______倍．()A．1B．nC．n2D.1n提示：D由锥体的体积公式V＝13πr2h，可知锥体的体积与高成正比，与底面半径的平方成正比．提示4．长方体三个面的面积分别为2,6和9，则长方体的体积是()A．63B．36C．11D．12提示：A设长方体长、宽、高分别为a，b，c，不妨令ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝63.提示课堂互动探究例1如图(1)是一个水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图(2)．求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积．[解]由三视图可知：在正三棱柱中，AD＝3，AA1＝3，从而在底面即等边△ABC中，AB＝ADsin60°＝332＝2，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝12×BC×AD×AA1＝12×2×3×3＝33.答案类题通法求柱体体积的方法规律求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高考常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解．[变式训练1](1)圆柱的底面积是S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是________．(2)如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，则A到平面A1BD的距离d＝________.答案(1)2SπS(2)33a答案解析(1)设圆柱的底面半径为r，则S＝πr2，∴r＝Sπ，则圆柱的母线长l＝2πr＝2πS，即圆柱的高h＝2πS，∴V圆柱＝S·h＝2SπS.解析(2)在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝2a，∵VA1－ABD＝VA－A1BD，∴13×12a2·a＝13×12×2a×32·2a·d.∴d＝33a.解析例2一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥体积．[解]如图所示，正三棱锥S－ABC.答案设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.∵△ABC是边长为6的正三角形，∴AE＝32×6＝33.∴AH＝23AE＝23.在△ABC中，S△ABC＝12BC·AE＝12×6×33＝93.在Rt△SHA中，SA＝15，AH＝23，∴SH＝SA2－AH2＝15－12＝3.∴V正三棱锥＝13S△ABC·SH＝13×93×3＝9.答案类题通法求锥体体积常用的方法求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝13Sh进行计算即可，常用方法为割补法和等积变换法．(1)割补法：求一个组合体的体积可以将这个组合体分割成几个柱体、锥体(或补成一个柱体或锥体)，求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积．(2)等积变换法：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．求体积时，可选择容易计算的方法来计算．[变式训练2]如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高．若VM＝4cm，AB＝4cm，VC＝5cm，求锥体的体积．解∵VM是棱锥的高，∴VM⊥MC.在Rt△VMC中，MC＝VC2－VM2＝52－42＝3(cm)，∴AC＝2MC＝6(cm)．在Rt△ABC中，BC＝AC2－AB2＝62－42＝25(cm)．S底＝AB·BC＝4×25＝85(cm2)，∴V锥＝13S底h＝13×85×4＝3253(cm3)．∴棱锥的体积为3253cm3.答案例3圆台上底的面积为16πcm2，下底半径为6cm，母线长为10cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？[解]首先，圆台的上底的半径为4cm，于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．其次，如图，圆台的高h＝BC＝BD2－OD－AB2＝102－6－42＝46(cm)，答案所以V圆台＝13h(S＋SS′＋S′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π)＝3046π3(cm3)．答案类题通法台体体积常见解题方法台体的体积计算公式是V＝13(S上＋S下＋S上S下)h，其中S上，S下分别表示台体的上、下底面面积，这一公式较为复杂，要求记准．计算体积的关键是求出上、下底面面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形．另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算．[变式训练3]某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A．4B.143C.163D．6答案B答案解析由四棱台的三视图可知，此棱台的上底面积S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2＝4，高h＝2，代入台体的体积公式V＝13(S1＋S1S2＋S2)h＝13×(1＋1×4＋4)×2＝143.解析易错点⊳割补法运用不熟练导致无法解答[典例]如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1和CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．[错解]∵EB＝BF＝FD1＝D1E＝a2＋a22＝52a，且EB∥FD1，ED1∥BF，∴四边形EBFD1为菱形，连接BD1,则S菱形EBFD1＝12EF×BD1＝12×2a×3a＝62a2，但锥体的高无法求解，所以体积不可求．[错因分析]不能利用等体积转化法求解不便直接求解几何体的体积．[正解]∵EB＝BF＝FD1＝D1E＝a2＋a22＝52a，且EB∥FD1，ED1∥BF，∴四边形EBFD1为菱形．又△EFB≌△EFD1，且三棱锥A1－EFB和A1－EFD1等高，∴VA1－EFB＝VA1－EFD1，∴VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EA1B.而S△EA1B＝12·a2·a＝a24，F到面EA1B的距离为a，∴VF－EA1B＝13·a24·a＝a312，∴VA1－EBFD1＝a36.答案课堂小结1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V柱体＝Sh――→S′＝SV台体＝13h(S＋SS′＋S′)――→S′＝0V锥体＝13Sh.2.对于多面体的体积问题往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，因此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用.3.有关旋转体的体积计算要充分利用其轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答.随堂巩固训练1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于()A．πB．2πC．4πD．8π答案B解析设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.答案解析2．已知一个正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为()A．63B.3C．23D．2答案B解析因为正六棱锥的高h＝52－12＝2，所以V＝13Sh＝13×6×34×2＝3.答案解析3．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为()A．3B．4C．5D．6答案A解析设圆台的体积为V，高为h.由题意，V＝13(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3.答案解析4．如下图所示，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是()答案C答案解析解法一：由题意可知当俯视图是A时，该几何体是正方体，显然体积为1，注意到题目要求体积是12，知其是正方体的一半，可知选C.解法二：当俯视图是A时，该几何体是正方体，体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积S＝π×122＝π4，高为1，则体积是π4；当俯视图是C时，该几何体是直三棱柱，其体积V＝12×1×1×1＝12；当俯视图是D时，该几何体由圆柱切割而成，其体积V＝14π×12×1＝π4.故选C.解析