2019-2020学年高中数学 第一章 立体几何初步 7 简单几何体的面积和体积 7.1 柱、锥、台

预习课本P44～46，思考并完成以下问题7．1柱、锥、台的侧面展开与面积(1)柱、锥、台的侧面展开图分别是什么？(2)柱、锥、台的侧面积公式是什么？一、预习教材·问题导入1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何体侧面展开图侧面积公式圆柱S圆柱侧＝_____r为底面半径l为圆锥S圆锥侧＝____r为底面半径l为圆台S圆台侧＝r1为上底面半径r2为下底面半径l为____________侧面母线长侧面母线长侧面母线长2πrlπrlπ(r1＋r2)l二、归纳总结·核心必记2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及侧面积公式几何体侧面展开图侧面积公式直棱柱S直棱柱侧＝c为底面h为正棱锥S正棱锥侧＝c为底面h′为，即侧面等腰三角形的高ch周长高12ch′周长斜高几何体侧面展开图侧面积公式正棱台S正棱台侧＝c′为上底面c为下底面h′为，即侧面等腰梯形的高12(c＋c′)h′周长周长斜高[点睛](1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．()(2)圆台的高就是相应母线的长．()(3)斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长．()×××三、基本技能·素养培优2．棱长为3的正方体的表面积为()A．27B．64C．54D．363．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其侧面积等于()A．72B．42πC．67πD．72π答案：C答案：B4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的侧面积为____．答案：4π[典例](1)圆柱的侧面展开图是两边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为()A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)考点一旋转体的侧面积(表面积)及其应用(2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()A．4倍B．3倍C.2倍D．2倍解析：（1）由题意，圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π的边为母线时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，即r＝2，所以S底＝4π，所以S表＝S侧＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．②以边长为4π的边为母线时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，即r＝3，所以S底＝9π，所以S表＝S侧＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．(2)由已知得l＝2r，S侧S底＝πrlπr2＝lr＝2，故选D.[答案](1)C(2)D旋转体的表面积的求法技巧圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．[类题通法][针对训练]1．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4πB．3πC．2πD．π解析：选C由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.2．圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为()A．1∶1B．1∶2C．1∶3D．1∶4解析：选C如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心．因为O1为PO2的中点，所以PO1PO2＝PAPB＝O1AO2B＝12，所以PA＝AB，O2B＝2O1A.又因为S圆锥侧＝π·O1A·PA，S圆台侧＝π·(O1A＋O2B)·AB，则S圆锥侧S圆台侧＝O1A·PAO1A＋O2B·AB＝13.3．若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是________．解析：因为S侧＝π(r1＋r2)·l＝2(πr21＋πr22)＝2×(π＋9π)＝20π，所以l＝20πr1＋r2π＝20π4π＝5.答案：5[典例]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋22C．14＋22D．15考点二多面体的侧面积(表面积)及应用[解析]该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱．S表＝2×12×(1＋2)×1＋2×1＋2×1＋2×2＋2×2＝11＋22，故选B.[答案]B1．由三视图求几何体的表面积的步骤(1)画：由三视图还原为直观图，即画出物体的直观图．(2)标：结合三视图的特征，标明直观图中的相关量及线线之间的位置关系，(如垂直、平行)．(3)算：根据直观图计算相应的量，(如表面积、侧面积)．2．多面体的表面积的求解方法(1)棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积根据平面几何知识求解，求侧面积的关键是求斜高和底面边长．(2)斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等，往往可以构成直角三角形(或梯形)，利用好这些直角三角形(或梯形)是解题的关键．[类题通法][针对训练]正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的侧面积．解：设正三棱锥底面边长为a，斜高为h′，如图所示，过O作OE⊥AB，连接SE，则SE⊥AB，且SE＝h′.因为S侧＝2S底，所以12×3a×h′＝34a2×2.所以a＝3h′.因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2.所以32＋36×3h′2＝h′2.所以h′＝23.所以a＝3h′＝6.所以S底＝34a2＝34×62＝93.所以S侧＝2S底＝183.考点三组合体的侧面积(表面积)及应用[典例]已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求此旋转体的表面积．[解]如图所示，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的．在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a，AB＝(2a－a)tan60°＝3a，DC＝2a－acos60°＝2a，又DD′＝DC＝2a，则S表＝S圆柱表＋S圆锥侧－S圆锥底＝2π·2a·3a＋2π·(2a)2＋π·a·2a－πa2＝(9＋43)πa2.1．求组合体的表面积的三个基本步骤(1)弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什么．(2)根据组合体的组成形式设计计算思路．(3)根据公式计算求值．2．求组合体的表面积的解题策略(1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响．(2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化．[类题通法][针对训练]已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积．解：如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D.由AC＝3，BC＝4，AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC.所以BC·AC＝AB·CD，所以CD＝125，记为r＝125，那么△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r＝125，母线长分别是AC＝3，BC＝4，所以S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π×125×(3＋4)＝845π.