2019-2020学年高中数学 第一章 立体几何初步 5.2 平行关系的性质课件 北师大版必修2

5.2平行关系的性质[学习目标]1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2.会用线面平行、面面平行的性质定理证明相关问题．3.理解“平行”与“平行”之间的转化.课前自主学习【主干自填】1．直线与平面平行的性质2．平面与平面平行的性质【即时小测】1．思考下列问题(1)分别在两个平行平面的直线有什么位置关系？提示：平行或异面，因为两平面平行无公共点，所以两直线无公共点，即平行或异面．提示(2)两个平面互相平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？提示：平行．因为两平面平行所以两平面无公共点，所以其中一个平面内的直线与另一个平面无公共点，所以直线与平面平行．提示(3)若一个平面与两个平行平面同时相交，则交线有什么位置关系？提示：平行．因为交线在同一平面内且无公共点所以两直线平行．提示2．已知直线l∥平面α，直线mα，则直线l和m的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．平行或异面提示：D提示3．如下图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E、F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.提示：32由于点A不在直线a上，则A、B、C确定一个平面β，∴α∩β＝EF.∵a∥平面α，∴EF∥a.∴EFBC＝AFAC.∴EF＝AF×BCAC＝3×45＋3＝32.提示课堂互动探究例1ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.[证明]连接AC交BD于O，连接MO.答案∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又M是PC的中点，∴AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH.答案[变式训练1]已知：a∥b，aα，bβ，α∩β＝l，求证：a∥b∥l.证明如图所示，∵a∥b，bβ，∴a∥β，又aα，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.答案例2已知α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且SA＝8，SB＝9，CD＝34，求当S在α，β之间时SC的长．[解]如图所示．答案∵AB与CD相交于S，∴AB，CD可确定平面γ，且α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.∵α∥β，∴AC∥BD，∴SASB＝SCSD，∴SASA＋SB＝SCCD，即SC34＝817，解得SC＝16.答案类题通法由面面平行得到线线平行，进而由成比例线段得解，体现了立体几何与平面几何间的转化关系.另外，面面平行还有许多性质，如要证明线面平行，可先证面面平行，再由性质证得.[变式训练2]如图，平面α∥β，线段AB分别交α，β于M，N，线段AD分别交α，β于C，D，线段BF分别交α，β于F，E.若AM＝9，MN＝11，NB＝15，S△FMC＝78.求△END的面积．解∵平面α∥β，又平面AND∩平面α＝MC，平面AND∩平面β＝ND，∴MC∥ND，同理EN∥FM.又AM＝9，MN＝11，NB＝15，∴MCND＝AMAN＝920，FMEN＝BMBN＝2615，又∠FMC＝∠END，∴S△FMCS△END＝12FM·MC·sin∠FMC12EN·ND·sin∠END＝920×2615＝78100，∵S△FMC＝78，∴△END的面积S△END＝100.答案例3如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．[解]解法一：(1)证明：因为BC∥AD，答案BC⊆/平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为BC平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知四边形AMNE为平行四边形．所以MN∥AE，MN⊆/平面APD，AE平面APD，所以MN∥平面APD.答案解法二：(1)证明：由AD∥BC，AD⊆/平面PBC，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为AD平面PAD，平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD∥BC.答案(2)设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD.又MQ⊆/平面PAD，AD平面PAD，所以MQ∥平面PAD.同理，由NQ∥PD，可得NQ∥平面PAD，而MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD.又MN平面MNQ，所以MN∥平面PAD.答案类题通法在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：[变式训练3]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是BC的中点，点N是AA1的中点．求证：MN∥平面A1CD.证明设点P为AD的中点，连接MP，NP.∵点M是BC的中点，∴MP∥CD.∵CD平面A1CD，MP⊆/平面A1CD，∴MP∥平面A1CD.答案∵点N是AA1的中点，∴NP∥A1D.∵A1D平面A1CD，NP⊆/平面A1CD，∴NP∥平面A1CD.∵MP∩NP＝P，MP平面MNP，NP平面MNP，∴平面MNP∥平面A1CD.∵MN平面MNP，∴MN∥平面A1CD.答案易错点⊳线面之间平行关系转化不当致错[典例]如下图所示，平面α∥平面β，AC与BD为异面直线，且ACα，BDβ，M，N分别为AB，CD的中点，求证：MN∥平面β.[错解]错解一：∵α∥β，ACα，∴AC∥β.又BDβ，∴AC∥BD.∵M，N分别为AB，CD的中点，∴MN∥BD.∵MN⊆/β，BDβ，∴MN∥平面β.错解二：连接BC，取BC的中点P，连接MP，NP，如下图所示．在△ABC中，M，P分别是AB，BC的中点，∴MP∥AC.∵MP⊆/平面α，ACα，∴MP∥平面α.同理，PN∥平面β.∵α∥β，∴MP∥平面β.又PN∩MP＝P，∴平面MPN∥平面β，而MN平面MPN，∴MN∥平面β.[错因分析]错解一中，由AC∥平面β得不到AC与平面β内的所有直线平行．因此，由AC∥平面β，BD平面β得不到AC∥BD.这是对线面平行的性质定理理解不透彻所致．而且若AC∥BD，则A，B，C，D四点共面，与已知条件中AC，BD异面矛盾．错解二中，“∵α∥β，MP∥平面α，∴MP∥平面β”这一步是没有依据的，尽管当MP⊆/β时结论成立，但仍需要证明．[正解]∵AB∩AC＝A，∴AB，AC确定一个平面，设该平面为γ，则γ∩α＝AC.∵B∈AB，ABγ，B∈β，∴B是γ与β的公共点，于是可设β∩γ＝BE，如图所示．答案连接CE，DE，取CE的中点P，连接MP，PN.∵α∥β，α∩γ＝AC，β∩γ＝BE，∴AC∥BE.又M，P分别为AB，CE的中点，∴MP∥BE.∵BEβ，MP⊆/β，∴MP∥β.在△CED中，P，N分别为CE，CD的中点，∴PN∥DE.又PN⊆/β，DEβ，∴PN∥β.又MP∩PN＝P，∴平面MNP∥平面β.∵MN平面MNP，∴MN∥平面β.答案课堂小结1.三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证得判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.随堂巩固训练1．如果相异点A、B和相异点C、D分别在异面直线a，b上，那么正确的结论是()A．直线AC与BD可能相交B．直线AD与BC可能相交C．AC与BD，AD与BC都是异面直线D．AC与BD，AD与BC不一定都是异面直线答案C答案解析本题适合用反证法：假设AC与BD共面，不妨设该平面为α，则A∈α，B∈α，C∈α，D∈α.因为相异点A、B和相异点C、D分别是在异面直线a，b上，所以aα，bα，这与已知a，b是异面直线矛盾，所以假设不成立，即得AC与BD是异面直线；同理可证AD与BC也是异面直线．解析2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有答案B解析因为n条直线交于一点，所以这n条直线肯定不平行，因此至多有一条直线与a平行．答案解析3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内答案B答案解析如图所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．解析4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．答案12解析两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以PAPB＝ACBD，又PA＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.答案解析