2019-2020学年高中数学 第一章 立体几何初步 4.2.2 空间图形的公理（二）课后课时精练课

课后课时精练时间：25分钟1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交答案D解析a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，而a与c异面、相交都有可能．答案解析2．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有()A．2对B．3对C．4对D．6对答案B答案解析据异面直线的定义可知共有3对．AP与BC，CP与AB，BP与AC.解析3．如图所示，在长方体木块ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A．3条B．4条C．5条D．6条答案B解析由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．答案解析4．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是()A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交答案D答案解析若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．故直线c至少与a，b中的一条相交．解析5．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是(平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和)()A．5B．10C．12D．不能确定答案B答案解析如图所示，由三角形中位线的性质可得EH綊12BD，FG綊12BD，再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.解析6．如图所示的是正三棱锥的展开图(D，E分别为PB，PA的中点)，则在正三棱锥中，下列说法正确的是()A．直线DE与直线AF相交成60°角B．直线DE与直线AC相交C．直线DE与直线AB异面D．直线AF与直线BC平行答案A答案解析将题中的展开图还原成正三棱锥，如图所示，点F与点P重合，易知在△PDE中，PD＝PE＝DE，△PDE是等边三角形，故∠PED＝60°，即直线DE与AF相交成60°角，A项正确．由图易知其余选项均错误．解析7．如图所示，在三棱锥A－BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是()A．MN≥12(AC＋BD)B．MN≤12(AC＋BD)C．MN＝12(AC＋BD)D．MN12(AC＋BD)答案D答案解析如图所示，取BC的中点E，连接ME，NE，则ME＝12AC，NE＝12BD，所以ME＋NE＝12(AC＋BD)．在△MNE中，有ME＋NEMN，所以MN12(AC＋BD)．解析8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．答案(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A1解析(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同；(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．答案解析9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线②直线AM与BN是平行直线③直线BN与MB1是异面直线④直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．答案③④解析由异面直线的定义知③④正确．答案解析10．如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AEAB＝AHAD＝λ，CFCB＝CGCD＝μ.(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH是梯形；②三条直线EF，HG，AC交于一点．证明在△ABD中，AEAB＝AHAD＝λ，故EH綊λBD.同理FG綊μBD.由公理4得EH∥FG，又可得FG＝μλEH.答案(1)若λ＝μ，则FG＝EH，故EFGH是平行四边形．(2)①若λ≠μ，则EH≠FG，故EFGH是梯形．答案②若λ≠μ，则EH≠FG，则在平面EFGH中EF、HG不平行，必然相交．不妨设λμ，EF∩HG＝O，如图所示．由O∈EF，EF平面ABC，得O∈平面ABC.同理有O∈HG平面ACD.而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以O∈AC，即EF、HG、AC交于点O.答案