2019-2020学年高中数学 第一章 立体几何初步 4 空间图形的基本关系与公理 第一课时 空间图

预习课本P22～25，思考并完成以下问题(1)空间中点、线、面的位置关系有哪些？该怎样表示？(2)空间图形的公理1，公理2，公理3的内容是什么？各有什么作用？第一课时空间图形基本关系的认识与公理1～3一、预习教材·问题导入1．空间中点、线、面的位置关系(1)点与直线的位置关系①点B在直线l上：；②点B在直线l外：.(2)点与平面的位置关系①点A在平面α内：；②点B在平面α外：.B∈lB∉lA∈αB∉α[点睛]通常借助集合中的符号语言来表示．点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集．二、归纳总结·核心必记2．空间图形的公理公理内容图形符号作用公理1过_______________的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α用来确定一个平面公理2如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内____，，且，⇒lα用来证明直线在平面内两点A∈lB∈lA∈αB∈α不在一条直线上公理内容图形符号作用公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条_________________，⇒α∩β＝l，且P∈l用来证明空间的点共线和线共点过该点的公共直线P∈αP∈β[点睛]对公理1必须强调是不共线的三点．3．公理1的推论推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图①)．推论2：两条相交直线确定一个平面(图②)．推论3：两条平行直线确定一个平面(图③)．[点睛]公理1及其三个推论是用来确定一个平面的依据．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两两相交的三条直线确定一个平面．()(2)经过一条直线和一个点确定一个平面．()(3)如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点．()×××三、基本技能·素养培优2．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为()A．P∈a，a∥αB．a∩α＝PC．P∈a，P∉αD．P∈a，aα3．若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在____________．答案：C答案：α与β的交线上4．根据右图，填入相应的符号：A______平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.答案：∈∉AC考点一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化[典例]根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[解](1)点P∈直线AB.(2)点C∉直线AB.(3)点M∈平面AC.(4)点A1∉平面AC.(5)直线AB∩直线BC＝点B.(6)直线AB平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[类题通法][针对训练]1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为()A．M∈a，a∈αB．M∈a，aαC．Ma，aαD．Ma，a∈α解析：选B根据点与线、线与面之间位置关系的符号表示可知B正确．2．用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解：(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图(1)．(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图(2)．考点二点线共面问题[典例]如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交．求证：a，b，c三线共面．[证明]∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面α.如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈α，B∈α，∴ABα.即aα，∴a，b，c三线共面．[类题通法]证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．[针对训练]已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证：直线a，b，c和l共面．证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α，如图．∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.而A∈l，B∈l，∴由公理2可知：lα.∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β，同理可知lβ.∴平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，又∵经过两条相交直线，有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴直线a，b，c和l共面．考点三点共线问题[典例]已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)，求证：P，Q，R三点共线．[证明]法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∴B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．[类题通法]证明点共线问题的常用方法有：法一是首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另外的点在其上．[针对训练]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线．证明：∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C在平面A1D1CB内，考点四线共点问题[典例]已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．[证明]如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1β，l2β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1α，P∈l2γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.[类题通法]证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点．[针对训练]已知在正方体ABCD­A′B′C′D′中，如图，E，F分别为AA′，AB上的点(E，F不与A′，B重合)且EF∥CD′，求证：CF，D′E，DA三线共点于P.证明：由EF∥CD′知E，F，C，D′四点共面．因为E，F不与A′，B重合，所以EF≠CD′，即四边形EFCD′为梯形．设D′E∩CF＝P，∵D′E平面AA′D′D，P∈D′E，∴P∈平面AA′D′D.又∵CF平面ABCD，P∈FC，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA′D′D的公共点．又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，∴P∈AD，即CF，D′E，DA三线共点于P.