2019-2020学年高中数学 第一章 空间几何体章末归纳整合课件 新人教A版必修2

章末归纳整合转化思想在本章应用较多，也是本章的难点，主要体现在以下几个方面：在解决空间图形的问题时，空间图形转化为平面图形、不规则图形转化为规则图形及等体积转化等都是解决问题的常见方法，下面举例说明．转化与化归思想1．空间与平面的转化【例1】如图所示，圆台母线AB长为20cm，上、下底面半径分别为5cm和10cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．【分析】将圆台展开，将曲面问题转化为平面问题解决．在圆台的轴截面中，∵Rt△OPA∽Rt△OQB，∴OAOA＋AB＝PAQB，即OAOA＋20＝510.∴OA＝20(cm)．【解析】如图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥，连接MB′，P，Q分别为圆台的上、下底面的圆心．设∠BOB′＝α，由扇形弧BB′的长与底面圆Q的周长相等，得2×10×π＝2×OB×π×α360°，即20π＝2×(20＋20)π×α360°，∴α＝90°.∴在Rt△B′OM中，B′M＝OM2＋OB′2＝302＋402＝50(cm)，即所求绳长的最小值为50cm.【点评】几何体表面上两点间的最小距离常常转化为求其展开图中的直线段长，充分利用侧面展开图的特征及平面中直线段最短进行转化求解．【变式训练1】圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为()A．10cmB．52π2＋4cmC．52cmD．5π2＋1cm【答案】B【分析】由于三棱锥O-ABC的底面ABC的面积及底面上的高不易求出，可考虑用等积法转化为求其他三棱锥的体积.【解析】如图所示，沿母线BC展开，曲面上从A到C的最短距离为平面上从A′到C的线段的长．∵AB＝BC＝5，∴A′B＝AB＝12×2π×52＝52π.∴A′C＝A′B2＋BC2＝254π2＋25＝5π24＋1＝52π2＋4(cm)．2．等体积转化法【例2】如图所示的三棱锥O－ABC为长方体的一角．其中OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为1.5cm2，1cm2,3cm2，求三棱锥O－ABC的体积．【解析】设OA，OB，OC的长依次为xcm，ycm，zcm，则由已知可得12xy＝1.5，12xz＝1，12yz＝3.解得x＝1，y＝3，z＝2.将三棱锥O－ABC看成以C为顶点，以OAB为底面．易知OC为三棱锥C－OAB的高．于是VO－ABC＝VC－OAB＝13S△OAB·OC＝13×1.5×2＝1(cm3)．【点评】在求解几何体的体积时，若按照题目给出的字母顺序确定底面的位置及高求解体积不易求时，可以通过转移顶点的手段求解体积．【变式训练2】已知三棱锥A－BCD的表面积为S，其内有半径为r的内切球O(球O与三棱锥A－BCD的每个面都相切，即球心O到A－BCD每个面的距离都为r)，求三棱锥A－BCD的体积．【解析】连接AO，BO，CO，DO(图略)，则三棱锥A－BCD被分割成为四个小三棱锥O－ABC，O－ABD，O－ACD，O－BCD，并且这四个小三棱锥的顶点都为O，高都为r，底面分别为△ABC，△ABD，△ACD，△BDC．故VA－BCD＝VO－ABC＋VO－ABD＋VO－ACD＋VO－BCD＝13S△ABC·r＋13S△ABD·r＋13S△ACD·r＋13S△BCD·r＝13(S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD)r＝13Sr.3．不规则几何体转化为规则几何体【例3】如图所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求证：三棱柱ABC－A′B′C′的体积V＝12Sa.【分析】本题有两种证法，即利用“分割”和“补形”来解决．【解析】证法1：如图所示，连接A′B，A′C，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．设所求体积为V，显然三棱锥A′－ABC的体积是13V，而四棱锥A′－BCC′B′的体积为13Sa，故有13V＋13Sa＝V，所以V＝12Sa.证法2：如图所示，将三棱柱ABC－A′B′C′补成一个四棱柱ABCD－A′B′C′D′，其中AD∥BC，CD∥AB，即四边形ABCD为一个平行四边形．显然三棱柱ACD－A′C′D′的体积与原三棱柱ABC－A′B′C′的体积相等．以四边形BCC′B′为底面，点A′到面BCC′B′的距离为高，显然补形后的四棱柱的体积为Sa，于是原三棱柱ABC－A′B′C′的体积V＝12Sa.【点评】若求解不规则几何体的体积，可以采用复杂问题化简单的策略，把不规则几何体通过分割、补形化为规则的几何体求解．【变式训练3】已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3【答案】B【解析】此几何体为一个长方体ABCD－A1B1C1D1被截去了一个三棱锥A－DEF，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6,3,6，故其体积为6×3×6＝108(cm3)．三棱锥的三条棱AE，AF，AD的长分别为4,4,3，故其体积为13×12×4×3×4＝8(cm3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm3)．一个平面与几何体相交所得到的几何图形(包括边界及内部)叫做几何体的截面．常见的截面有对角面、轴截面、直截面、平行于底面的截面以及其他具有某种特性的截面(如平行或垂直于棱、规定角度的截面等等)．我们可以利用截面把立体几何中的元素集中到平面图形中来，利用函数与方程的思想求解最值等有关问题．与截面有关的函数与方程思想【例4】将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图)，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A．(1)求面积A以x为自变量的函数式；(2)求出截得棱柱的体积的最大值．【分析】(1)根据面积公式列出函数式；(2)列出体积的函数关系式，根据自变量的范围确定最大值.【解析】(1)横截面如图，由题意得A＝x·4－x2(0x2)．(2)V＝x·4－x2·1＝－x2－22＋4，由(1)知0x2，所以，当x＝2时，Vmax＝2，即截得棱柱的体积的最大值为2.【点评】解决本题的关键是将空间图形转化为平面图形，构造出几何体的体积函数，根据函数的类型求解最值．【变式训练4】在棱长为1的正方体内，有两球相外切，并且又分别与正方体内切．(1)求两球的半径之和；(2)球的半径是多少时，两球的体积之和最小．【解析】(1)如图所示，ABCD为过球心的对角面，AC＝3，设两球半径分别为R，r，则有R＋r＋3(R＋r)＝3，∴R＋r＝3－32.(2)设两球的体积之和为V，则V＝43π(R3＋r3)＝43π(R＋r)(R2－Rr＋r2)＝43π(R＋r)[(R＋r)2－3Rr]＝43π(R＋r)·[(R＋r)2－3R(R＋r－R)]＝43π·3－32·3－322－3R3－32－R＝23－33π3R2－33－32R＋3－322，∴当R＝3－34时，V有最小值．通过近几年的高考来看，高考对本章知识的考查主要有以下特点：1．三视图将是高考考查的重点，其考查方式有以下特点：一是给出空间图形，选择其三视图；二是给出三视图，判断其空间图形，有时也会和面积体积的计算问题结合在一起考查．2．求几何体的表面积、体积问题，是高考的必考热点，在高考中不仅有直接求多面体、旋转体、球的表面积和体积问题，也有已知多面体的表面积和体积求解相关元素的量或元素间的位置关系问题，因此要熟练地掌握多面体、旋转体和球的概念、性质以及它们的表面积、体积公式，同时要学会转化思想的运用，会把组合体求体积问题转化为基本几何体求体积问题，会用等体积转化法求解问题，会把立体几何问题转化为平面问题求解，会运用割补法求解．1．(2018年新课标Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()【答案】A【解析】由直观图可知选A．2．(2017年北京)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A．32B．23C．22D．2【答案】B【解析】在正方体中还原该四棱锥如图所示，从图中易得最长的棱为AC1＝AC2＋CC21＝22＋22＋22＝23.3．(2017年新课标Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB．3π4C．π2D．π4【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－122＝34，所以圆柱的体积V＝34π×1＝3π4.4．(2017年新课标Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10B．12C．14D．16【答案】B【解析】观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2；三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此，该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B．5．(2018年新课标Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543【答案】B【解析】设△ABC的边长为a，则S△ABC＝12a2sin60°＝34a2＝93，解得a＝6.如图，当点D在底面上的射影为三角形ABC的中心H时，三棱锥D－ABC的体积最大．设球心为O，则在直角三角形AHO中，AH＝23×32×6＝23，OA＝R＝4，则OH＝OA2－AH2＝16－12＝2，所以DH＝2＋4＝6，所以三棱锥D－ABC的体积最大值为V＝13S△ABC×DH＝13×93×6＝183.6．(2018年天津)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________．【答案】112【解析】依题意知该四棱锥M－EFGH为正四棱锥，其高为正方体棱长的一半，即为12，正方形EFGH的边长为22，其面积为12，所以四棱锥M－EFGH的体积VM－EFGH＝13Sh＝13×12×12＝112.