2019-2020学年高中数学 第一章 空间几何体 1.2 空间几何体的三视图和直观图（第一课时）中

1.2空间几何体的三视图和直观图第一课时中心投影与平行投影及空间几何体的三视图（本节内容，2017版《课程标准》不做要求）一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P11～P14，回答下列问题．(1)电影的播放实质是利用了小孔成像原理，而太阳光下地面上人的影子是阳光照射到人后留下的影像．放电影和太阳光照射成影像都具备光线、不透明物体和投影面这些相同的条件．①放电影成像与太阳光成像原理一样吗？提示：不一样．②电影成像中的光线有何特点？太阳光照人成影像的光线又有何特点？提示：前者是光由一点向外散射，后者是一束平行光线．(2)如梦似幻——这是来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印象．同天安门、故宫、长城等北京标志性建筑一样，“水立方”成了游客去北京的必到之地．①水立方的外观形状是什么？提示：长方体．②假如你站在水立方入口处的正前方或在水立方的左侧看水立方，你看到的是什么？若你在水立方的正上方观察水立方又看到什么？提示：水立方的一个侧面；水立方的一个表面．③根据上述三个方向观察到的平面，能否画出水立方的形状？提示：可以．二、归纳总结·核心必记1．投影的概念及分类定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做，把留下物体影子的屏幕叫做________分类中心投影光由______向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线交于_____平行投影在一束______光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投影线是______的．在平行投影中，投影线______投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影影子投影线投影面一点一点平行平行正对2．三视图(1)定义：光线从几何体的__面向__面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的面向面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的面向___面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的，三视图是正投影．三视图上下左右前后(2)基本特征：一个几何体的侧视图和正视图一样，俯视图与正视图一样，侧视图与俯视图一样．高度宽度长度三、综合迁移·深化思维(1)画三视图时一定要求光线与投射面垂直吗？提示：正确．由三视图都是正投影可知正确．(2)球的三视图与它的摆放位置有关吗？提示：无关．球的三视图无论怎么放置都是圆面．探究点一中心投影和平行投影[思考探究]观察图形，思考下面的问题：(1)中心投影和平行投影有什么区别？名师指津：①中心投影形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体，主要用于绘画领域．②平行投影形成的直观图能比较精确地反映原来物体的形状和特征，因此更多应用于工程制图和技术图样．(2)中心投影和平行投影有什么性质？名师指津：①中心投影中投影线交于一点．②平行投影中：a．直线或线段的投影仍是直线或线段，平行直线的投影仍然平行或重合．b．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长．c．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等．[典例精析]下列说法中：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．其中正确的个数为()A．0B．1C．2D.3[解析]由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线，③不正确．[答案]B[类题通法]判断几何体投影形状的方法及画投影的方法(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影．[针对训练]1．在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是()解析：阳光可看作平行光线，所以树影可以看作平行投影．若两棵小树的影子的方向相反，则不可能为同一时刻阳光下的影子，所以A、B选项错误；在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项错误．故选D.答案：D2．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是()解析：由正投影的定义知，点M、N在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1、DA的中点，D在平面ADD1A1上的投影还是D，因此A正确．答案：A探究点二简单几何体的三视图[思考探究]观察下面图形，思考如下问题：(1)三视图的尺寸有什么要求？名师指津：每个视图都反映物体两个方向上的尺寸．正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸．(2)三视图的摆放规则是什么？名师指津：一个物体的三视图摆放规则是：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．(3)三视图中对实、虚线有什么要求？名师指津：三视图中规定：能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．[典例精析]画出图中正四棱锥和圆台的三视图．(尺寸不作严格要求)[解]正四棱锥的三视图如图所示：圆台的三视图如图所示：[类题通法]画三视图应遵循的原则和注意事项(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”．(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法．(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性．[针对训练]3．如图所示，四面体A­BCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体A­BCD的正视图、侧视图、俯视图依次是()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D.③④⑤解析：四面体A­BCD的正视图是边长分别为3,4的矩形，对角线左上至右下为虚线，左下至右上为实线，为①；侧视图是边长分别为4,5的矩形，对角线左上至右下为实线，左下至右上为虚线，为②；俯视图是边长分别为3,5的矩形，对角线左上至右下为实线，左下至右上为虚线，为③，故选B.答案：B4．画出如图所示几何体的三视图．解：(1)此几何体的三视图如图①所示；(2)此几何体的三视图如图②所示．探究点三由三视图还原空间几何体[典例精析]根据图中的物体的三视图，画出物体的形状．[思路点拨]解答本题根据各种几何体的结构特征，充分发挥空间想象能力，先确定是什么几何体，再画出图形．[解](1)由正视图和俯视图知该几何体是五棱台，如图(1)．(2)由正视图、侧视图确定几何体为锥体，再结合俯视图确定其是四棱锥，由俯视图可知其底面形状是四边形，再结合正视图、侧视图所给信息知该几何体为四棱锥，如图(2)．[类题通法]由三视图还原空间几何体的步骤[针对训练]5．根据图中的物体的三视图，画出物体的形状．解：(1)由三视图可知，下面为棱柱、上面为正方体，故表示物体的实物图形如图．(2)由三视图可知，上面为半球，下面为三棱柱，如图．[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是了解中心投影与平行投影，能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图，难点是能识别三视图所表示的立体模型．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断几何体投影形状及画投影的方法，见探究点一．(2)画三视图应遵循的原则和注意事项，见探究点二．(3)由三视图还原空间几何体的步骤，见探究点三．3．本节课的易错点是混淆中心投影和平行投影，如探究点一．