2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形章末总结课件 新人教A版必修5

章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)1.正弦定理和余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适应于任何三角形.()2.在△ABC中,等式bsinA=asinB总能成立.()3.在△ABC中,已知a,b,A,则此三角形有唯一解.()4.在△ABC中,若a2b2+c2,则△ABC一定为钝角三角形.()5.在△ABC中,已知两边和其夹角时,△ABC不唯一.()6.方位角和方向角是一样的.()7.公式S=absinC适合求任意三角形的面积.()8.三角形中已知三边无法求其面积.()√12√×√××√×题型探究·素养提升题型一利用正、余弦定理解三角形[典例1]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinA+csinC-2asinC=bsinB.(1)求B;解:(1)由正弦定理得a2+c2-2ac=b2.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.故cosB=22,因此B=45°.(2)若A=75°,b=2,求a,c.解:(2)sinA=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=264.故a=b×sinsinAB=262=1+3.由A=75°,B=45°,得C=60°,c=b×sinsinCB=2×sin60sin45=6.规律总结运用正、余弦定理解三角形的策略在解三角形时,常常将正、余弦定理结合在一起使用,要注意恰当选取定理,简化运算过程,提高解题速度.解题时要综合、灵活地运用这两个定理,认真分析已知条件,结合三角形的有关性质(如大角对大边,大边对大角,三角形内角和定理等),并注意数形结合,防止出现漏解或增解的情况.题型二利用正、余弦定理判断三角形的形状[典例2](2019·杭州高二检测)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a+c=2b且2cos2B-8cosB+5=0,求B的大小并判断△ABC的形状.解:因为2cos2B-8cosB+5=0,所以2(2cos2B-1)-8cosB+5=0,所以4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=12或cosB=32(舍去).因为B∈(0,π),所以B=π3.因为a+c=2b,所以cosB=2222acbac=22222acacac=12.化简得a2+c2-2ac=0,解得a=c.又a+c=2b,所以a=b=c.所以△ABC是等边三角形.规律总结判断三角形的形状策略欲判断三角形的形状特征,不仅要深入研究三角形的边与边的大小关系,还要研究角与角的大小关系.解这类问题的思考方法是:从条件出发,利用正弦定理(或余弦定理)进行代换转化,逐步将给出的式子化为纯粹的边与边的关系或角与角的关系,通过运算求出边或角的大小,或者确定边与边或角与角的等量关系,从而正确判定三角形的形状.解:(1)因为(2a-b)cosC=ccosB,所以(2sinA-sinB)cosC=sinCcosB,2sinAcosC-sinBcosC=cosBsinC,即2sinAcosC=sin(B+C),所以2sinAcosC=sinA.因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosC=120,又因为C∈(0,π),所以C=π3.题型三与三角形面积有关的问题[典例3]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a-b)cosC=ccosB,△ABC的面积S=103,c=7.(1)求角C;解:(2)由S=12absinC=103,C=π3得ab=40.①由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即c2=(a+b)2-2ab(1+cosπ3),所以72=(a+b)2-2×40×(1+12).所以a+b=13.②由①②得a=8,b=5或a=5,b=8.(2)求a,b的值.规律总结(1)对于三角形面积公式S=12absinC=12acsinB=12bcsinA,一般是已知哪一个角度就使用含有那个角正弦的面积公式.(2)在涉及三角形面积时,常常借助正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.题型四利用正、余弦定理解决实际应用问题[典例4](2019·安徽阜阳月考)已知海岛A四周8海里内有暗礁,有一货轮由西向东航行,望见岛A在北偏东75°,航行202海里后,见此岛在北偏东30°,若货轮不改变航向继续前进,有无触礁危险?解:如图所示,在△ABC中,依题意得BC=202海里,∠ABC=90°-75°=15°,∠BAC=60°-∠ABC=45°.由正弦定理,得sin15AC=sin45BC,所以AC=202sin15sin45=10(6-2)(海里).故A到航线的最短距离为AD=ACsin60°=10(6-2)×32=(152-56)(海里).因为152-568,所以货轮无触礁危险.规律总结解三角形应用题的步骤(1)准确地理解题意;(2)正确地作出图形(或准确地理解图形);(3)把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中,利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形;(4)根据实际意义和精确度的要求给出答案.错解:(1)因为cosA=-45,所以sinA=35.因为sinBCA=sinCAB,所以sinB=sinACABC=23×35=25.题型五易错类型[典例5]在△ABC中,已知AC=2,BC=3,cosA=-45,求:(1)sinB的值;(2)sin(2B+30°)的值.(2)因为sinB=25,所以cosB=±21sinB=±215.所以sin2B=2sinBcosB=2×25×(±215)=±42125,cos2B=2cos2B-1=2×(±215)2-1=1725.所以sin(2B+30°)=sin2Bcos30°+cos2Bsin30°=±42125×32+1725×12=1712750.纠解:本题的根本错因在于没有注意cosA=-45,A为钝角,由于A+B+C=180°,所以在三角形中三内角最多只有一个钝角,从而cosB=215.三角形内角和定理是联系三个内角的纽带,它使三个内角相互制约,不能顾此失彼.正解:(1)因为cosA=-45,所以sinA=35.因为sinBCA=sinCAB,所以sinB=sinACABC=23×35=25.(2)因为cosA=-45,所以A为钝角,从而B为锐角.所以cosB=21sinB=215.所以sin2B=2sinBcosB=2×25×215=42125,cos2B=2cos2B-1=2×(215)2-1=1725.所以sin(2B+30°)=sin2Bcos30°+cos2Bsin30°=42125×32+1725×12=1712750.真题体验1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中,cos2C=55,BC=1,AC=5,则AB等于()(A)42(B)30(C)29(D)25A解析:因为cos2C=55,所以cosC=2cos22C-1=2×(55)2-1=-35.在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=52+12-2×5×1×(-35)=32,所以AB=32=42.故选A.2.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若△ABC的面积为2224abc,则C等于()(A)π2(B)π3(C)π4(D)π6解析:因为S=12absinC=2224abc=2cos4abC=12abcosC,所以sinC=cosC,即tanC=1.因为C∈(0,π),所以C=π4.故选C.C解析:如图,由正弦定理sinaA=sinbB,得sinB=ba·sinA=27×32=217.由余弦定理a2=b2+c2-2bc·cosA,得7=4+c2-4c×cos60°,即c2-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去).3.(2018·浙江卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60°,则sinB=,c=.答案:21734.(2018·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.解析:因为bsinC+csinB=4asinBsinC,所以由正弦定理得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC.又sinBsinC0,所以sinA=12.由余弦定理得cosA=2222bcabc=82bc=4bc0,所以cosA=32,bc=4cosA=833,所以S△ABC=12bcsinA=12×833×12=233.答案:2335.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;解:(1)在△ABD中,由正弦定理得sinBDA=sinABADB.即5sin45=2sinADB,所以sin∠ADB=25.由题设知,∠ADB90°,所以cos∠ADB=2125=235.解:(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=25.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×22×25=25.所以BC=5.(2)若DC=22,求BC.解:(1)在△ABC中,由正弦定理sinaA=sinbB,可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos(B-π6),得asinB=acos(B-π6),即sinB=cos(B-π6),可得tanB=3.又因为B∈(0,π),所以B=π3.6.(2018·天津卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B-π6).(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解:(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,得b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7.由bsinA=acos(B-π6),可得sinA=37.因为ac,故cosA=27.因此sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A-1=17.所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=437×12-17×32=3314.