2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形章末复习课件 新人教A版必修5

第三章不等式章末复习1知识系统整合2规律方法收藏掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能运用它们解斜三角形，通过解三角形，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力．1．解三角形常见类型及解法在三角形的6个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：2．三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．(1)利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa.若sinB1，无解；若sinB＝1，一解；若sinB1，一解或两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A，由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcosA，即c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．3．三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理、余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如：sinA＝a2R，cosA＝b2＋c2－a22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．4．解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求．5．正、余弦定理的综合应用正、余弦定理将三角形边和角的关系进行量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余定理完成证明，求值问题．(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解．(2)解三角形与其他知识交汇问题，可以运用三角形的基础知识，正、余弦定理、三角形的面积公式与三角形恒等变换，通过等价转化构造方程及函数求解．3学科思想培养一、正弦定理的应用正弦定理主要有两方面的应用：一是已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；二是已知三角形的任意两边与其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．值得注意的是已知三角形的任意两边与其中一边的对角，运用正弦定理解三角形时，解不唯一，可结合三角形中大边对大角的性质或结合图形来判断解的个数．例1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．解在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.由正弦定理，得ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，sin∠ABC＝ACsin∠BCAAB＝9sin30°5＝910.∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝910.在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝910，∠ADB＝45°，由正弦定理，得ABsin∠ADB＝BDsin∠BAD，解得BD＝922.故BD的长为922.二、余弦定理的应用余弦定理有三个方面的应用：一是已知三角形的两边和它们的夹角，可以由余弦定理求出第三边，进而求出其余两角；二是已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角；三是正、余弦定理的综合应用，如已知三角形的两边及其一边的对角，除了能用正弦定理解三角形外，也可以用余弦定理来解三角形．例2(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°.求角A，B和边c；cos15°＝6＋24(2)在△ABC中，AC＝5，BC＝5，cosA＝910，求AB的长．解(1)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2×2×22×6＋24＝8－43，∴c＝8－43＝6－2，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝3－323－1＝32.∵C∈(0°，180°)，∴A＝30°，B＝180°－(A＋C)＝135°.(2)由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcosA.将已知条件代入，得5＝AB2＋25－10×AB×910.∴AB2－9AB＋20＝0，∴AB＝4或AB＝5.例3在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(a＋c，b)与向量n＝(a－c，b－a)互相垂直．(1)求角C；(2)求sinA＋sinB的取值范围．解(1)由已知可得，(a＋c)(a－c)＋b(b－a)＝0⇒a2＋b2－c2＝ab，cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，所以C＝π3.(2)由C＝π3，得A＋B＝2π3，sinA＋sinB＝sinA＋sin2π3－A＝sinA＋sin2π3cosA－cos2π3sinA＝32sinA＋32cosA＝332sinA＋12cosA＝3sinA＋π6，由0A2π3，π6A＋π65π6⇒12sinA＋π6≤1.所以sinA＋sinB的取值范围是32，3.三、判断三角形的形状判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．例4在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．解(1)由已知，根据正弦定理，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝120°.(2)解法一：由a2＝b2＋c2＋bc，得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.∴34＝1－sinBsinC，∴sinBsinC＝14.又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝12.因为0°B90°，0°C90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．解法二：∵A＝120°且sinB＋sinC＝1，∴sinB＋sin(60°－B)＝12sinB＋32cosB＝sin(B＋60°)＝1，又60°B＋60°120°，∴B＋60°＝90°，∴B＝30°，从而C＝30°，∴△ABC是等腰钝角三角形．例5在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解解法一：由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC，∵B＝60°，∴A＋C＝120°，∴2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC，展开整理得32sinC＋12cosC＝1.∴sin(C＋30°)＝1.∵0°C120°，∴C＋30°＝90°，∴C＝60°.则A＝60°，∴△ABC为等边三角形．解法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，∵B＝60°，b＝a＋c2，∴a＋c22＝a2＋c2－2accos60°.∴(a－c)2＝0，a＝c，又B＝60°，∴△ABC为等边三角形．四、正、余弦定理的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常见的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，解决的基本思路是画出正确的示意图把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．例6如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意知AB＝5(3＋3)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝ABsin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD×BCcos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1(小时)．答：该救援船到达D点需要1小时．五、三角形中的综合问题高考综合考查三角函数知识，常以三角形为载体，在三角形中综合考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、正余弦定理、向量等知识．例7已知函数f(x)＝m·n，其中m＝(sinωx＋cosωx，3cosωx)，n＝(cosωx－sinωx,2sinωx)，其中ω0，若f(x)相邻两对称轴间的距离不小于π2.(1)求ω的取值范围；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝3，b＋c＝3，当ω最大时，f(A)＝1，求△ABC的面积．解(1)f(x)＝cos2ωx－sin2ωx＋23sinωxcosωx＝cos2ωx＋3sin2ωx＝2sin2ωx＋π6.∵ω0，∴函数f(x)的周期为T＝2π2ω＝πω，由题意可知T2≥π2，解得0ω≤1，即ω的取值范围为{ω|0ω≤1}．(2)由(1)知ω的最大值为1.∴f(x)＝2sin2x＋π6，∵f(A)＝1，∴sin2A＋π6＝12，而π62A＋π613π6，∴2A＋π6＝5π6，∴A＝π3.由余弦定理，知cosA＝b2＋c2－a22bc，∴b2＋c2－bc＝3，又b＋c＝3，联立解得b＝2，c＝1或b＝1，c＝2，∴S△ABC＝12bcsinA＝32.