2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 第1节 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理课件

第1课时正弦定理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P2～P4，回答下列问题：(1)观察教材图1.1－1，在Rt△ABC中，根据三角函数的定义可知sinA＝ac，sinB＝bc，sinC＝1.由此你能发现asinA，bsinB，csinC之间的大小关系是什么？提示：asinA＝bsinB＝csinC.(2)教材图1.1－2中的△ABC为锐角三角形，asinA，bsinB，csinC之间的大小关系是什么？提示：asinA＝bsinB＝csinC.(3)如图，△ABC为钝角三角形，asinA，bsinB，csinC之间又有什么样的大小关系？提示：asinA＝bsinB＝csinC2．归纳总结，核心必记(1)正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即(2)解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[问题思考](1)在△ABC中sinA＝sinB，则A＝B成立吗？(2)在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c成立吗？(3)在△ABC中，若AB，是否有sinAsinB？反之，是否成立？提示：(1)由于在△ABC中，sin_A＝sin_B，有a＝b，则A＝B，故(1)成立．(2)由正弦定理知sin_A∶sin_B∶sin_C＝a∶b∶c正确，即(2)成立．(3)∵AB，∴ab.又∵asinA＝bsinB，∴sinAsinB.反之，若sinAsinB，则ab，即AB.故AB⇔sinAsinB．[课前反思](1)正弦定理的内容：；(2)三角形元素的构成有：；(3)在△ABC中，已知任意两个角与一边，如何能求出其他元素？；(4)在△ABC中，已知任意两边及其中一边的对角，如何能求出其他元素？．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.[思考1]若已知∠A＝α，∠B＝β，c＝m，能求出∠C，a，b的值吗？如何求解？名师指津：可以．可先由三角形内角和定理A＋B＋C＝180°，求出∠C.然后利用正弦定理求出a和b的值．[思考2]若已知∠A＝α，∠B＝β，a＝n，能求出三角形的其它未知元素吗？如何求解？名师指津：可以．由三角形内角和定理A＋B＋C＝180°，得C＝180°－(A＋B)，然后利用正弦定理求出b和c的值．[名师点拨]通过以上问题思考可知，在△ABC中，若已知任意两角及一边，能求出该三角形的其他剩余元素．(请看讲1)讲一讲1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.(链接教材P3－例1)，[尝试解答]A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.由bsinB＝asinA得，b＝asinBsinA＝8×sin60°sin45°＝46.由asinA＝csinC得c＝asinCsinA＝8×sin75°sin45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．∴A＝45°，b＝46，c＝4(3＋1)．已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．练一练1．在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．解：∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°.由asinA＝csinC得a＝csinAsinC＝10×sin45°sin30°＝102.由bsinB＝csinC得b＝csinBsinC＝10×sin105°sin30°＝20sin75°，∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64，∴b＝20×2＋64＝52＋56.观察知识点1中的△ABC.[思考]若已知a＝m，b＝n，A＝α，能求出△ABC的其他元素吗？如何求解？名师指津：能．先由正弦定理asinA＝bsinB，求出sin_B的值，进而求出∠B.然后利用三角形内角和定理求出C＝π－(A＋B)，最后再用正弦定理asinA＝csinC求出c的值即可[名师点拨]在△ABC中，已知任意两边及一边的对角，能求出△ABC的其他所有元素．(请看讲2)讲一讲2．在△ABC中，已知c＝6，A＝45°，a＝2，解这个三角形．(链接教材P4－例2)[尝试解答]∵asinA＝csinC，∴sinC＝csinAa＝6×sin45°2＝32，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝csinBsinC＝6sin75°sin60°＝3＋1；当C＝120°时，B＝15°，b＝csinBsinC＝6sin15°sin120°＝3－1.∴b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，C＝120°.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．练一练2．根据下列条件解三角形：(1)a＝10，b＝20，A＝60°；(2)a＝23，b＝6，A＝30°.解：(1)由正弦定理得，sinB＝bsinAa＝20·sin60°10＝31，∴三角形无解．(2)由正弦定理得，sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，∴B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝asinCsinA＝23sin90°sin30°＝43；当B＝120°时，C＝30°，c＝asinCsinA＝23sin30°sin30°＝23.∴B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.讲一讲3．在△ABC中，若cosAa＝cosBb＝cosCc，试判断△ABC的形状．(链接教材P10－B组T2)[思路点拨]由正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系式，得出内角关系．[尝试解答]法一：化角为边由正弦定理，令asinA＝bsinB＝csinC＝k(k0)，得a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(k≠0)，代入已知式子得cosAksinA＝cosBksinB＝cosCksinC.∴sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC.∴tanA＝tanB＝tanC.又∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C.∴△ABC为等边三角形．法二：化边为角由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC.又∵cosAa＝cosBb＝cosCc，∴asinA·cosAa＝bsinB·cosBb＝csinC·cosCc.∴cosAsinA＝cosBsinB＝cosCsinC.即sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC∴tanA＝tanB＝tanC.又∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C.∴△ABC为等边三角形．(1)根据边角关系判断三角形形状的途径：①利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；②利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个蕴含的结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．(2)判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．练一练3．已知在△ABC中，bsinB＝csinC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．解：因为asinA＝bsinB＝csinC＝2R，R为△ABC外接圆半径，所以sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.因为bsinB＝csinC，所以b22R＝c22R，得b2＝c2.因为sin2A＝sin2B＋sin2C，所以a24R2＝b24R2＋c24R2，所以a2＝b2＋c2，故△ABC为等腰直角三角形．—————————[课堂归纳·感悟提升]—————————1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正弦定理的推导．2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：(1)asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC；(4)在△ABC中，sinAsinB⇔AB⇔ab.3．要掌握正弦定理的三个应用：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角，见讲1.(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角，见讲2.(3)判断三角形的形状，见讲3.4．本节课的易错点有两处：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况，如讲2.(2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”，如练3.