2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第2课时 应用举例（二）课件 新

1.2应用举例第2课时应用举例(二)目标定位重点难点1.掌握正弦定理、余弦定理及其变式．2．巩固用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的几何计算问题.重点：正弦定理、余弦定理及其变式．难点：解决三角形中的几何计算问题.解三角形问题的几种类型．在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下几种情况：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解1．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形【答案】B【解析】∵2sinAcosB＝sin(A＋B)，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.2．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为()A．403B．203C．402D．202【答案】A【解析】设另两边长为8x,5x，则cos60°＝64x2＋25x2－14280x2，解得x＝2，两边长是16与10，三角形的面积是12×16×10×sin60°＝403.3．(2019年福建厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为()A．0，π2B．π4，π2C．π6，π3D．π3，π2【答案】D【解析】由题意得sin2Asin2B＋sin2C，再由正弦定理得a2b2＋c2，即b2＋c2－a20，则cosA＝b2＋c2－a22bc0.∵0Aπ，∴0Aπ2.又a为最大边，∴Aπ3.∴角A的取值范围是π3，π2.4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝14a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为______．【答案】－14【解析】由2sinB＝3sinC得2b＝3c，即b＝32c，代入b－c＝14a，整理得a＝2c，故cosA＝b2＋c2－a22bc＝94c2＋c2－4c22·32c·c＝－14.【例1】设△ABC的三内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知bcosC＝(2a－c)cosB．(1)求角B的大小；(2)若x∈[0，π)，求函数f(x)＝sin(x－B)＋sinx的值域．三角形中的三角函数【解题探究】(1)由正弦定理化简已知等式，利用两角和正弦公式得到sin(B＋C)＝2sinAcosB，结合sin(B＋C)＝sinA可得角B的大小．(2)化简得f(x)＝3sinx－π6，由x∈[0，π)利用正弦函数的图象与性质，可得函数f(x)的值域．【解析】(1)由已知及正弦定理，得sinBcosC＝(2sinA－sinC)cosB，移项得sinBcosC＋cosBsinC＝2sinAcosB，∴sin(B＋C)＝2sinAcosB．∵sin(B＋C)＝sinA≠0，∴2cosB＝1，可得cosB＝12.∵B∈(0，π)，∴B＝π3.(2)∵B＝π3，∴f(x)＝sinx－π3＋sinx＝sinxcosπ3－cosxsinπ3＋sinx＝32sinx－32cosx＝3sinx－π6.∵x∈[0，π)，∴－π6≤x－π6＜5π6，∴sinx－π6∈－12，1.故函数f(x)的值域是－32，3.【方法规律】本题给出三角形的边角关系，求B的大小，并依此求一个三角函数式的值域．着重考查了正弦定理、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA．(1)求AB的值；(2)求sin2A－π4的值．【解析】(1)在△ABC中，根据正弦定理，得ABsinC＝BCsinA.于是AB＝BC·sinCsinA＝2BC＝25.(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝255，于是sinA＝1－cos2A＝55.从而sin2A＝2sinAcosA＝45，cos2A＝cos2A－sin2A＝35.所以sin2A－π4＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝210.【解题探究】(1)运用诱导公式和二倍角的余弦公式，结合二次函数的最值求法，即可得到；(2)由三角形的余弦定理和面积公式，结合条件计算即可得到面积．正、余弦定理的综合问题【例2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a＝3，b＋c＝3.(1)求cosA＋2cosB＋C2的最大值；(2)在(1)的条件下，求△ABC的面积．【解析】(1)由A＋B＋C＝π，可得B＋C2＝π2－A2，即有cosB＋C2＝sinA2，则cosA＋2cosB＋C2＝1－2sin2A2＋2sinA2＝－2sinA2－122＋32，当sinA2＝12，即A＝π3时，cosA＋2cosB＋C2取得最大值32.(2)由(1)可得cosA＝12，cosA＝b2＋c2－a22bc＝b＋c2－2bc－a22bc＝9－2bc－32bc＝12，即有bc＝2，又sinA＝32，则S△ABC＝12bcsinA＝12×2×32＝32.【方法规律】解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理，运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB．(1)求角B的大小；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.【解析】(1)由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，∴cosB＝22.∵0°B180°，∴B＝45°.(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64，由正弦定理得a＝b·sinAsinB＝1＋3.由已知得C＝180°－45°－75°＝60°，∴c＝b·sinCsinB＝2×sin60°sin45°＝6.【例3】已知钝角三角形的三边长分别是a，a＋1，a＋2，其最大内角不超过120°，则a的取值范围是______．【解题探究】本题考查的知识点是余弦定理的应用，由钝角三角形的任意两边之和大于第三边及其最大内角不超过120°，我们可以得到关于a的不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围．求最值及范围问题【答案】32≤a＜3【解析】钝角三角形的三边长分别是a，a＋1，a＋2，其最大内角不超过120°，∴a＋a＋1＞a＋2，0＞a2＋a＋12－a＋222aa＋1≥－12，解得32≤a＜3.【方法规律】(1)求与已知有关的参数的范围或者最值问题，要注意条件中的范围限制以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围找完善，避免结果的范围过大；(2)三角形中边、角的最值或范围求法除利用三角形的性质数形结合外，也可通过建立目标函数转化为函数的最值问题(形如y＝asinα＋bcosα)求解．(2019年福建泉州期末)在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acosA＝bsinA，则sinA＋sinC的最大值为()A．2B．98C．1D．78【答案】B【解析】∵acosA＝bsinA，∴sinAcosA＝sinBsinA．∵sinA≠0，∴cosA＝sinB．又B为钝角，∴B＝A＋π2，sinA＋sinC＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋cos2A＝sinA＋1－2sin2A＝－2sinA－142＋98.∴sinA＋sinC的最大值为98.【示例】在△ABC中，角A，B，C满足2B＝A＋C，B的对边b＝1，求a＋c的取值范围．忽略范围而致错【错解】∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝π3，C＝2π3－A．∴a＋c＝bsinAsinB＋bsinCsinB＝233(sinA＋sinC)＝233sinA＋sin2π3－A＝3sinA＋cosA＝2sinA＋π6.∵0＜A＜π，∴π6＜A＋π6＜7π6.∴－12＜sinA＋π6＜12.∴－1＜a＋c＜1.又a＋c＞0，∴0＜a＋c＜1.【错因】错解中前面还照顾到了A与C的相互制约关系，后面在讨论sinA＋π6的取值范围时又忽略了．误把(0，π)作为A的取值范围；另一处错误是由π6＜A＋π6＜7π6得出－12＜sinA＋π6＜12，事实上sinx在π6，7π6上不单调．【正解】在原解答中把“∵0＜A＜π”后面的去掉，换为∵0Aπ，0Cπ，C＝2π3－A，∴0＜A＜2π3，∴π6＜A＋π6＜5π6，∴12＜sinA＋π6≤1，∴1＜a＋c≤2.【警示】本题主要考查正弦定理的应用，利用条件将a＋c转化为三角函数是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和差的三角公式以及辅助角公式的应用．在解三角形时，选择正弦定理还是余弦定理？根据解题经验，已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其原因是三角形中角的范围是(0，π)，在此范围内同一个正弦值对应两个角，一个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意．但是在(0，π)内一个余弦值仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避免分类讨论．1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝2a，π－A＝2B，则cosB＝()A．12B．32C．14D．22【答案】C【解析】已知π－A＝2B，A＋B＋C＝π，则B＝C，所以b＝c＝2a.则cosB＝a2＋c2－b22ac＝14.故选C．2．在△ABC中，若a＝2，∠B＝60°，b＝7，则BC边上的高等于()A．332B．3C．3D．5【答案】A【解析】因为在△ABC中，a＝2，∠B＝60°，b＝7，所以cos60°＝c2＋22－724c，解得c＝3或c＝－1(舍去)．则BC边上的高为csin60°＝332.故选A．3．(2019年天津模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A≠π2，sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，则角A的取值范围为()A．0，π6B．0，π4C．π6，π4D．π6，π3【答案】B【解析】在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin2A，即2sinBcosA＝22sinAcosA．因为A≠π2，所以cosA≠0，所以sinB＝2sinA．由正弦定理得b＝2a，所以A为锐角．又sinB＝2sinA∈(0,1]，所以sinA∈0，22，所以A∈0，π4.4．已知△ABC的周长为2＋1且sinA＋sinB＝2sinC，则边AB的长为________．【答案】1【解析】∵sinA＋sinB＝2si