2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 应用举例（一）课件 新

1.2应用举例第1课时应用举例(一)目标定位重点难点1.熟练掌握正弦定理及余弦定理．2．能够应用正、余弦定理等知识和方法求距离问题、角度、高度问题.重点：掌握正弦定理及余弦定理．难点：实际应用问题的处理.1．方位角定义：从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫________．2．方向角定义：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫________．方位角方向角3．基线在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做________．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的准确度．一般来说，基线越________，测量的精确度越高．基线长1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°【答案】B【答案】D2．海洋中有A，B，C三座灯塔．其中A，B之间的距离为a，在A处观察B，其方向是南偏东40°，观察C，其方向是南偏东70°，在B处观察C，其方向是北偏东65°，B，C之间的距离是()A．aB．2aC．12aD．22a3．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5m，迎水坡的坡比是3∶3，则斜坡的坡角α＝________，斜坡AB的长度是________．【答案】30°10m【解析】由题意知，坡比i＝tanα＝33.∵0°＜α＜90°，∴坡角α＝30°.又∵坡高BC＝5m，∴斜坡长AB＝BCsinα＝5sin30°＝10(m)．4．为了开凿隧道，要测量隧道上D，E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如图，测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，又测得A，B两点到隧道口的距离AD＝80m，BE＝40m(A，D，E，B在一条直线上)，计算隧道DE的长．【解析】在△ABC中，AC＝400m，BC＝600m，∠ACB＝60°，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos60°，∴AB＝4002＋6002－2×400×600×12＝2007(m)．∴DE＝AB－AD－BE＝(2007－120)m.答：隧道长为(2007－120)m.距离问题【例1】如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取距离相距3km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求A，B之间的距离．【解题探究】要求出A，B之间的距离，把AB放在△ABC(或△ADB)中，但不管在哪个三角形中，AC，BC(或AD，BD)这些量都是未知的．再把AC，BC(或AD，BD)放在△ACD，△BCD中求出它们的值．【解析】在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°.∴AC＝CD＝3.在△BCD中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°，由正弦定理，得BC＝3sin75°sin60°＝6＋22，则在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22cos75°＝5.∴AB＝5.∴两目标A，B之间的距离为5km.【方法规律】测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，然后把未知的另外边长转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题．测量长度、距离是解三角形应用题的一种基本题型，在解这类问题时，首先要分析题意，确定已知与所求，然后画好示意图，通过解三角形确定实际问题的解．如图所示，设A(可达到)，B(不可达到)是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，测量者在A点的附近选定一点C，测出AC的距离为am，∠A＝α，∠C＝β.求A，B两点间的距离．【解析】在△ABC中，由正弦定理，得ABsinC＝ACsinB，∴AB＝ACsinCsinB＝asinβsin180°－α－β＝asinβsinα＋β.正、余弦定理在高度测量上的应用【例2】在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走103米，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．【解题探究】如图所示，求角θ，必须把角θ，2θ，4θ和边长30,103尽量集中在一个三角形中，利用方程求解．【解析】∵∠PAB＝θ，∠PBC＝2θ，∴∠BPA＝θ，∴BP＝AB＝30.又∠PBC＝2θ，∠PCD＝4θ，∴∠BPC＝2θ，∴CP＝BC＝103.在△BPC中，根据正弦定理，得PCsin2θ＝PBsinπ－4θ，即103sin2θ＝30sin4θ，∴2sin2θcos2θsin2θ＝30103，解得cos2θ＝32.∵0°＜2θ＜90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.【方法规律】测量高度的方法：对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑物底部点的基线，在基线上取另外两点，这样四点可以构成两个小三角形．其中，把不含未知高度的那个小三角形作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理求解即可．(2019年河南郑州模拟)如图，一栋建筑物AB的高为(30－103)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角是30°，则通信塔CD的高为________米．【答案】60【解析】在Rt△ABM中，AM＝ABsin15°＝30－103sin15°＝30－1036－24＝206.在△AMC中，易得∠AMC＝150°，∠MAC＝45°，则∠ACM＝30°，所以CMsin45°＝206sin30°，则CM＝403.在Rt△MCD中，可得CD＝CMsin60°＝60.【例3】如图所示，当甲船位于A处时，获悉在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，求sinθ的值．正、余弦定理在角度测量上的应用【解题探究】本题主要考查解斜三角形的有关知识，重点在于正弦定理及余弦定理，正确理解方位角的概念是解题关键．【解析】如图所示，连接CB．在△ABC中，∠CAB＝90°＋30°＝120°.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos120°.又AC＝10，AB＝20，得BC2＝202＋102－2×20×10×－12，∴BC＝107(海里)．由正弦定理，得sin∠ACB＝ABsin∠CABBC＝20sin120°107＝217.又∠ACB为锐角，∴cos∠ACB＝277.作CM⊥BA，交BA的延长线于点M，则θ＝∠BCM＝30°＋∠ACB．∴sinθ＝sin(30°＋∠ACB)＝sin30°cos∠ACB＋cos30°sin∠ACB＝12×277＋32×217＝5714.【特别提醒】为什么作辅助线CM？∠ACB并不是θ角，题目要求的方位角是北偏东多少度，需要作出正北方向线．在点C正北方向线与CB所成的角才是要求的角，即∠BCM＝θ.如图，在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45°方向、相距12海里的B处有蓝方一艘小艇正以10海里/小时的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以14海里/小时的速度，沿北偏东(45°＋α)方向拦截蓝方的小艇，设红方侦察艇在C处追上蓝方小艇，若要使时间最短，则α的正弦值为________．【答案】5314【解析】设红方侦察艇经过x小时追上蓝方小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°，在△ABC中，由余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－2×12×10xcos120°，解得x＝2或x＝－34(舍去)．∴AC＝28，BC＝20.由正弦定理得BCsinα＝ACsin120°，sinα＝20sin120°28＝5314.【示例】某观测站C在城市A的南偏西20°的方向上，由城市A出发的一条笔直公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上距C为31km的B处有一辆汽车正沿公路向城市A行驶，行驶了20km后到达D处，此时CD间的距离为21km，则此汽车还要行驶多远才能到达城市A?结果不符合实际意义导致错误【错解】如图所示，∠CAD＝60°.在△BCD中，由余弦定理得cosB＝BC2＋BD2－CD22BC·BD＝312＋202－2122×31×20＝2331，∴sinB＝1－cos2B＝12331.在△ABC中，AC＝BCsinBsin∠CAB＝31sinBsin60°＝24.在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠CAD，即212＝242＋AD2－24AD，解得AD＝15或AD＝9.∴此汽车还要行驶15km或9km才能到达城市A．【错因分析】解△ACD时，用到的条件是CD，AC，∠CAD，即两边和其中一边的对角，可能产生两个解．此题中△BCD是固定的，则∠BDC是一定的，那么∠ACD也是一定的，由∠CAD，∠ACD，CD，可得△ACD只有一解．错解产生了增根却没有检验排除．【正解】设∠ACD＝α，∠CDB＝β.在△CBD中，由余弦定理得cosβ＝BD2＋CD2－CB22BD·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sinβ＝437.而sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－sin60°cosβ＝437×12＋32×17＝5314.在△ACD中，由正弦定理得CDsin60°＝ADsinα，AD＝21sinαsin60°＝15(km)．∴此汽车再行驶15km就可以到达城市A．【点评】在解决实际问题时，画出图形后应用正弦定理或余弦定理进行求解，得到的结果要检验其是否符合实际意义，这点容易被忽略而造成多解．解三角形应用题的一般思路(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成三角形模型；(3)选择正弦定理和余弦定理求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位和近似计算要求．这一思路描述如下：1．某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的()A．北偏西35°B．北偏东55°C．南偏西35°D．南偏西55°【答案】D【解析】根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°.所以B在A的南偏西55°.故选D．2．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300m和500m，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C的正西方向，则两灯塔A，B间的距离为()A．500mB．600mC．700mD．800m【答案】C【解析】根据题意画出图形如图．在△ABC中，BC＝500(m)，AC＝300(m)，∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝3002＋5002－2×300×500×－12＝490000，∴AB＝700(m)．【答案】A3．A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要的时间为()A．1小时B．2小时C．(1＋3)小时D．3小时【解析】由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，∴∠ADB＝105°.在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝ABsin∠DABsin∠ADB＝53＋3sin45°sin105°＝103(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203海里，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1(小时)．故选A．4．