2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理课

1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理第一章解三角形课前自主预习为了更深刻地从定量的角度研究三角形的边角关系，引入正弦定理．1．正弦定理.□01在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA＝bsinB＝csinC2．解三角形(1)把三角形的和它们的叫做三角形的元素．(2)叫做解三角形．□02三个角A，B，C□03对边a，b，c□04已知三角形的几个元素求其他元素的过程(3)利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题：①已知，求其他两边和一角．②已知，求另一边的对角，进一步求出其他的边和角．□05任意两角与一边□06任意两边与其中一边的对角1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理只适用于锐角三角形．()(2)在△ABC中必有asinA＝bsinB.()(3)在△ABC中，若A＞B，则必有sinA＞sinB.()√××2．做一做(1)已知△ABC外接圆的半径是2，∠A＝60°，则BC边长为________．(2)(教材改编P4T2)在△ABC中，若a＝14，b＝76，B＝60°，则C＝________.(3)在△ABC中，若sinAa＝cosBb，则B＝________.(4)在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则asinCsinB＝________.2375°45°83课堂互动探究探究1已知两角及一边解三角形例1已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.解∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，又由正弦定理，得c＝asinCsinA＝102，b＝asinBsinA＝10sin105°sin30°＝20sin(60°＋45°)＝5(6＋2)，∴B＝105°，b＝5(6＋2)，c＝102.拓展提升已知三角形的两角和任一边解三角形的基本思路(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的转化，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．【跟踪训练1】(1)若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为________；(2)已知三角形的两角分别是45°和60°，它们所夹边的长为1，则最小边的长为______________．263－1解析(1)在△ABC中，由asinA＝bsinB，得b＝asinBsinA＝4×sin60°sin45°＝4×3222＝26.(2)设△ABC的三个内角中，A＝45°，B＝60°，则C＝75°.∵CBA，∴最小边的长为a.∵c＝1，∴由正弦定理，得a＝csinAsinC＝1×sin45°sin75°＝226＋24＝3－1，即最小边的长为3－1.探究2已知两边及一边对角解三角形例2根据下列条件解三角形：(1)b＝3，B＝60°，c＝1；(2)c＝6，A＝45°，a＝2.解(1)∵bsinB＝csinC，∴sinC＝csinBb＝1×sin60°3＝12.∵bc，B＝60°，∴CB，∴C为锐角，∴C＝30°，A＝90°，∴a＝b2＋c2＝2.(2)∵asinA＝csinC，∴sinC＝csinAa＝6×sin45°2＝32，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝csinBsinC＝6sin75°sin60°＝3＋1.当C＝120°时，B＝15°，b＝csinBsinC＝6sin15°sin120°＝3－1.∴b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，C＝120°.[变式探究]在本例(1)中若改为b＝1，c＝3，其他条件不变，又如何求解？解∵sinC＝csin60°b＝3×32＝321，故三角形无解．拓展提升已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．【跟踪训练2】(1)在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()A．{x|x2}B．{x|x2}C．{x|2x22}D．{x|2x23}(2)已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解，有解的作出解答．①b＝4，c＝8，B＝30°；②a＝7，b＝8，A＝105°.解析(1)解法一：要使三角形有两解，则ab且sinA1.由正弦定理，得sinA＝asinBb＝24x.∴x2，24x1，∴2x22.解法二：要使三角形有两解，则ba，basinB，即2x，2xsin45°，∴2x22.(2)①b＝4，c＝8，bc，B＝30°90°，又csinB＝8sin30°＝4＝b，即cb＝csinB，所以本题有一解．由正弦定理，得sinC＝csinBb＝8sin30°4＝1.又cb，CB，所以30°C180°，所以C＝90°.所以A＝180°－(B＋C)＝60°.所以a＝c2－b2＝43.②a＝7，b＝8，因为ab，A＝105°90°，所以本题无解．又bsinA＝6sin30°＝323，即babsinA，所以本题有两解．由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，所以B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝asinCsinA＝23sin90°sin30°＝43.当B＝120°时，C＝30°，c＝asinCsinA＝23sin30°sin30°＝23.故B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.探究3判断三角形的形状例3在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．解解法一：∵A，B，C为三角形的内角，∴A＝π－(B＋C)．∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.∵sinA＝2sinBcosC，∴sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0.∵－πB－Cπ，∴B－C＝0.∴B＝C.∴A＝π－2B.∴sin2A＝sin22B.∵sin2A＝sin2B＋sin2C＝2sin2B，∴sin22B＝2sin2B.∴2sinBcosB＝2sinB.∵sinB≠0，∴cosB＝22.∴B＝π4.∴C＝π4，A＝π2.∴△ABC为等腰直角三角形．解法二：由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2.∴A＝π2，B＋C＝π2.∵sinA＝2sinBcosC，即sinA＝2sinBcosπ2－B，∴1＝2sin2B，∵B∈(0，π)，∴sinB＝22，∴B＝π4，∴△ABC为等腰直角三角形．拓展提升判断三角形形状的方法(1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．(3)判断三角形的形状，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．【跟踪训练3】在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析将a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆的半径)代入已知条件，得sin2AtanB＝sin2BtanA，则sin2AsinBcosB＝sinAsin2BcosA.∵sinAsinB≠0，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．探究4三角形解的个数的判断例4已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝23，b＝6，A＝30°.解(1)a＝10，b＝20，ab，A＝80°90°，讨论如下：∵bsinA＝20sin80°20sin60°＝103，∴absinA，∴本题无解．(2)a＝23，b＝6，ab，A＝30°90°，∵bsinA＝6sin30°＝3，absinA，∴bsinAab，∴本题有两解．由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，又∵B∈(0，π)，∴B1＝60°，B2＝120°.当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝asinC1sinA＝23sin90°sin30°＝43；当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝asinC2sinA＝23sin30°sin30°＝23.∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝43；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝23.拓展提升从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a，b和A，解三角形为例，用几何法探究如下：【跟踪训练4】(1)已知△ABC中，b＝43，c＝2，C＝30°，那么解此三角形可得()A．一解B．两解C．无解D．解的个数不确定(2)满足a＝4，b＝3，A＝45°的△ABC的个数为________．1解析(1)解法一：由正弦定理和已知条件，得43sinB＝2sin30°，∴sinB＝3.∵31，∴此三角形无解．解法二：∵c＝2，bsinC＝23，∴cbsinC.故此三角形无解．解法三：在角C的一边上确定顶点A，使AC＝b＝43，作∠ACD＝30°，以顶点A为圆心，AB＝c＝2为半径画圆，如图所示，该圆与CD没有交点，说明该三角形解的个数为0.(2)因为A＝45°90°，a＝43＝b，所以△ABC的个数为1.探究5正弦定理与三角恒等变换的工具作用例5已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.求A.解由正弦定理及acosC＋3asinC－b－c＝0，得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.又sinB＝sin(A＋C)，于是sinAcosC＋3sinAsinC－(sinAcosC＋cosAsinC)－sinC＝0，得sinC(3sinA－cosA－1)＝0，因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，即3sinA－cosA＝1即sinA－π6＝12，所以A－π6＝π6，即A＝π3.拓展提升正弦定理在研究三角形边角关系中，可以适当地进行转变，边转化成角或角转化为边，利用三角恒等变换或解方程求解．【跟踪训练5】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.(1)求角C的大小；(2)求3sinA－cosB＋π4的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．解(1)由正弦定理及已知条件得sinCsinA＝sinAcosC.因为0Aπ，所以sinA0，从而sinC＝cosC，则C＝π4.(2)由(1)知，B＝3π4－A，于是3sinA－cosB＋π4＝3sinA－cos(π－A)＝3sinA＋cosA＝2sinA＋π6.因为0A3π4，所以π6A＋π611π12.从而当A＋π6＝π2，即A＝π3时，2sinA＋π6取得最大值2.综