2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 2 排列 第一课时 排列与排列数公式课件 北师大版

[自主梳理]一、排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照__________排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列.一定顺序二、排列数排列数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__________________叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号______表示乘积式Amn＝_________________________排列数公式阶乘式Amn＝___________(m∈N，n∈N＋，m≤n)排列数的性质Ann＝____；A0n＝____；0！＝____所有排列的个数Amnn(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！n－m！n！11[双基自测]1．下列问题属于排列问题的是()①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．A．①④B．①②C．④D．①③④A解析：根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题．2．乘积5×6×7×…×20等于()A．A1720B．A1620C．A1520D．A1420B解析：根据题意，由于乘积5×6×7×…×20表示的是从20到5的连续16个自然数的乘积，则可知表示的为A1620.3．集合P＝{x|x＝Am4，m∈N＋}，则集合P中共有________个元素．3解析：因为x＝Am4，m∈N＋且m≤4，所以P中的元素为A14＝4，A24＝12，A34＝A44＝24，即集合P中有3个元素．解析：因为甲、乙、丙三名学生任何一名都可能当班长，也可能当副班长，列出每一个班长和副班长情况，如图所示．即共有6种结果：甲、乙，甲、丙，乙、甲，乙、丙，丙、甲，丙、乙(前者为班长，后者为副班长).4．高二(1)班准备从甲、乙、丙三名学生中选出两人分别担任班长和副班长，试写出所有结果．探究一排列的概念[例1]判断下列问题是否是排列问题：(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少个不同的对数值？(3)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(4)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x2a2＋y2b2＝1?[解析](1)是．选出的2人，担任正、副班长，与顺序有关，所以该问题是排列问题；(2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关．(3)是．点的坐标与该点的横坐标和纵坐标的顺序有关．(4)不是．焦点在x轴上的椭圆，方程中的a、b必有ab，a、b的大小一定．判断是否为排列问题的方法判断所给问题是否为排列问题，关键是看与顺序有无关系．若与顺序有关．就是排列问题，否则就不是排列问题．1．(1)在各国举行的足球联赛中，一般采取“主客场制”(即每两个球队之间分别作为主队和客队各赛一场)．若共有12支球队参赛，问共需进行多少场比赛？(2)在“世界杯”足球赛中，由于有东道主国家承办，故无法实行“主客场制”，而采用“分组循环淘汰制”．若共有32支球队参加，分为八组，每组4支球队进行小组循环，问在小组循环中共需进行多少场比赛？(3)在乒乓球单打比赛中，由于参赛选手较多，故常采取“抽签捉对淘汰制”决出冠军．若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需举行多少场比赛？在上述三个问题中，是排列问题的是________．解析：对于(1)，同样是甲、乙两队比赛，甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；对于(2)，由于是组内循环，故甲、乙两队之间只需进行一场比赛，与顺序无关，不是排列问题；对于(3)，由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位，故也与顺序无关，不是排列问题．答案：(1)探究二排列数公式及应用[例2]求下列各式中的x值：(1)3A3x＝2A2x＋1＋6A2x；(2)3Ax8＝4Ax－19.[解析](1)由3A3x＝2A2x＋1＋6A2x得：3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)·x＋6x(x－1)．∵x≥3且x∈N*，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)．化简整理得：3x2－17x＋10＝0.解得x1＝5，x2＝23(舍去)．∴原方程的解是x＝5.(2)由3Ax8＝4Ax－19得3×8！8－x！＝4×9！10－x！.∴3×8！8－x！＝4×9×8！10－x9－x8－x！.化简得：x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.∵x≤8，且x－1≤9，x∈N*，∴原方程的解是x＝6.应用排列数公式时的注意点(1)排列数的第一个公式Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用于具体计算或解与排列数Amn(当m较小时)有关的方程．要注意公式右端的特点和公式的逆用．(2)第二个公式Amn＝n！n－m！适用于与排列数有关的恒等式(或不等式)的证明或解有关排列数Amn(当m与n较接近时)的方程与不等式．(3)对Amn要注意隐含条件：m≤n(m∈N，n∈N＋)．2．计算下列各题：(1)A215；(2)A66；(3)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！；(4)解不等式Ax96Ax－29.解析：(1)A215＝15×14＝210.(2)A66＝6×5×4×3×2×1＝720.(3)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n!＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1.(4)由不等式有意义知应满足0≤x≤9，0≤x－2≤9，x∈N，解得2≤x≤9且x∈N.①根据排列数公式，可得9！9－x！＞6×9！9－x＋2！，即(11－x)(10－x)＞6，x2－21x＋104＞0.∴x＜8或x＞13.②由①②可得2≤x＜8且x∈N，∴x＝2,3,4,5,6,7.探究三无限制条件的排列问题[例3](1)有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学生全部被聘用，若不允许兼职，则共有多少种不同的招聘方案(用数字作答)?(2)有一部电影，被安排到4个单位去放映，每个单位放映1场，不同的放映方式有几种？[解析](1)将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有A35＝60(种)．(2)不同放映方式，即4个单位的全排列，故共有A44＝24种不同的放映方式．本题是无限制条件的排列应用题，直接由排列数公式计算即可，该类题型比较简单，要求写出解答的简要说明．3．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A48＝8×7×6×5＝1680(种)．答案：1680因忽略排列数Amn的隐含条件致误[典例]不等式A2n－1－n＜7的解集为()A．{n|－1＜n＜5}B．{1,2,3,4}C．{3,4}D．{4}[解析]由不等式A2n－1－n＜7，得(n－1)(n－2)－n＜7，整理得n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5.又因为n－1≥2且n∈N＋，即n≥3且n∈N＋，所以n＝3或n＝4，故不等式A2n－1－n＜7的解集为{3,4}．[答案]C[错因与防范](1)本题极易忽略n为正整数的条件而错选A，或者虽考虑到n为正整数而忽略了n－1≥2的限制，而错选B，还可能遗漏n－1≥2中的等于而导致错选D.(2)对题目中的条件要认真分析，找出隐含条件，如本例中的n－1≥2且n∈N＋.另外在求解与证明中要灵活选用以减少运算量和失误，如本例中选用乘积式则较简单．求满足条件Ax＋656Ax＋354＝30800的x值．解析：由排列数公式知：Ax＋656Ax＋354＝56！50－x！54！51－x！＝56！50－x！·51－x！54！＝56×55(51－x)．∴原方程即为56×55(51－x)＝30800，解得x＝41.