2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1-5-1 二项式定理课件 北师大版选修2-3

第1页§5二项式定理第一课时二项式定理第2页1．二项式定理公式(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnn－1abn－1＋Cnnbn所表示的规律叫做二项式定理．2．(1)(a＋b)n的二项展开式中共有n＋1项；(2)二项式系数：Cnk(k∈N)；(3)二项展开式的通项公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)它是展开式的第k＋1项.第3页1．二项式定理详解二项式定理是本节的重难点，突破难点的关键是：准确熟练地写出二项式的展开式，为此要注意以下几点：(1)各项的次数和都等于二项式的幂指数n；(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1，直到n；(3)展开式共有n＋1项，比二项式的次数多1.第4页警示应用二项式定理时，其中的a和b是不能交换的．拓展①二项式定理给出的是一个恒等式，a、b为任何值时都成立．对a、b赋予一些特定的值，是解决二项式问题的一种重要思想方法；②设a＝1，b＝x，则可得到公式(1＋x)n＝1＋Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnrxr＋…＋xn，在解题时会经常用到．第5页2．二项式的通项、二项式系数二项式的通项、二项式系数是本节两个重要的概念，是理解和掌握二项式定理的基础，它们是密切相联又有本质区别的两个概念．理解这两个概念注意以下几点：(1)通项Tk＋1＝Cnkan－kbk是(a＋b)n的展开式的第(k＋1)项，这里k＝0，1，…，n，该项的二项式系数是Cnk而不是Cnk＋1，字母a的次数是组合数下、上标的差，字母b的次数和组合数上标相同，a与b次数之和为n；第6页(2)二项式(a＋b)n的通项Cnkan－kbk和(b＋a)n的展开式的通项Cnkbn－kak是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的；(3)注意二项式系数Cnk与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时为负．第7页课时学案第8页题型一二项式定理的正用例1求(x－12x)4的展开式．【思路】解答本题可先把x看成a，－12x看成b，直接用二项式定理展开，也可以先对x－12x化简再展开．第9页【解析】方法一(x－12x)4＝C40(x)4－C41(x)3·12x＋C42(x)2·(12x)2－C43x(12x)3＋C44(12x)4＝x2－2x＋32－12x＋116x2.方法二(x－12x)4＝(2x－12x)4＝116x2(2x－1)4＝116x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋32－12x＋116x2.第10页探究1方法二较为简单，在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行适当变形，可使展开多项式的过程简化．记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提，对较复杂的二项式，有时可先化简再展开，会更简便．第11页◎思考题1求(1＋1x)4的展开式．【解析】方法一(1＋1x)4＝1＋C41(1x)＋C42(1x)2＋C43(1x)3＋(1x)4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋1x4.方法二(1＋1x)4＝(1x)4(x＋1)4＝(1x)4(x4＋C41x3＋C42x2＋C43x＋1)＝1＋4x＋6x2＋4x3＋1x4.第12页题型二二项式定理的逆用例2化简：Cn0(x＋1)n－Cn1(x＋1)n－1＋…＋(－1)kCnk(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCnn.【思路】解答本题可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．第13页【解析】原式＝Cn0(x＋1)n＋Cn1(x＋1)n－1·(－1)＋Cn2(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋Cnk(x＋1)n－k·(－1)k＋…＋Cnn·(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.第14页探究2本题是二项式定理的逆用，需要熟悉二项展开式的每个单项式的结构，若对公式还不很熟悉，可先把x＋1换元为a，再分析结构形式，则变得简单些．第15页◎思考题2设n为自然数，化简Cn0·2n－Cn1·2n－1＋…＋(－1)k·Cnk·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn.【思路】由题目可获取以下主要信息：①展开式中“＋”与“－”相间隔；②2的指数最高为n，依次递减至0，且每一项的指数等于对应的组合数的下标与上标的差．解答本题可先分析结构形式，然后逆用二项式定理求解．第16页【解析】原式＝Cn0·2n·10－Cn12n－1·11＋…＋(－1)k·Cnk2n－k＋…＋(－1)n·Cnn·20＝(2－1)n＝1.第17页题型三利用通项公式求二项展开式中的特定项例3(1)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()A．80B．40C．20D．10【解析】∵(1＋2x)5的展开式的通项为Tr＋1＝C5r(2x)r＝2rC5r·xr，令r＝2，得T3＝22C52·x2＝40x2，故x2的系数为40，故选B.【答案】B第18页(2)x(x－2x)7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答)【解析】原问题等价于求(x－2x)7的展开式中x3的系数，(x－2x)7的通项Tr＋1＝C7rx7－r(－2x)r＝(－2)rC7rx7－2r，令7－2r＝3，得r＝2，∴x3的系数为(－2)2C72＝84，即x(x－2x)7的展开式中x4的系数为84.【答案】84第19页探究3(1)求二项展开式的特定项的常见题型：①求第k项，Tk＝Cnk－1an－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．第20页(2)求二项展开式的特定项的常用方法：①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．第21页◎思考题3(1)求二项式(x2＋12x)10的展开式中的常数项．【思路】展开式中第r＋1项为C10r(x2)10－r(12x)r，要使得它是常数项，必须使“x”的指数为零，依据是x0＝1，x≠0.第22页【解析】设第r＋1项为常数项，则Tr＋1＝C10r(x2)10－r·(12x)r＝C10rx20－52r·(12)r(r＝0，1，…，10)．令20－52r＝0，得r＝8.∴T9＝C108·(12)8＝45256.∴第9项为常数项，其值为45256.第23页【点评】二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr＋1中的变元的指数为零的方法求得常数项．第24页(2)(1＋2x)3(1－x)4展开式中x2的系数为________．【思路】分别将两个二项式展开，根据多项式的乘法法则确定x2的系数的构成规律．第25页【解析】∵(1＋2x)3(1－x)4展开式中x2项为C3013(2x)0·C4212(－x)2＋C3112(2x)1·C4113(－x)1＋C321(2x)2·C4014(－x)0，∴所求系数为C30·C42＋C31·2·C41(－1)＋C32·22·C40·14＝6－24＋12＝－6，故填－6.【答案】－6第26页例4已知在(3x－33x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．【思路】解答本题可先借助通项公式，利用第6项为常数项求n，然后再根据通项公式即可求得(2)、(3)．第27页【解析】(1)通项公式为Tk＋1＝Cnkxn－k3(－3)kx－k3＝Cnk(－3)kxn－2k3.∵第6项为常数项，∴k＝5时有n－2k3＝0，即n＝10.(2)令n－2k3＝2，得k＝12(n－6)＝2.∴所求的系数为C102(－3)2＝405.第28页(3)根据通项公式，由题意得10－2k3∈Z，0≤k≤10，令10－2k3＝r（r∈Z），k∈Z.则10－2k＝3r，即k＝5－32r.第29页∵k∈Z，∴r应为偶数．∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8.∴第3项，第6项与第9项为有理项．它们分别为C102(－3)2x2，C105(－3)5，C108(－3)8x－2.第30页探究4通项公式的主要作用是用来求展开式中的特定项．求二项展开式的特定项常见题型有：①求第k项，Tk＝Cnk－1an－k＋1bk－1；②求含xr的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．第31页对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；而对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．另外，在实际求解时，若通项中含有根式，宜把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．第32页◎思考题4已知(41x＋3x2)n的展开式中的倒数第三项的系数为45.(1)求含有x3的项；(2)求系数最大的项．第33页【解析】已知展开式中倒数第三项的系数为45，则Cnn－2＝45，即Cn2＝45，n2－n－90＝0，解得n＝－9(不合题意)或n＝10.(1)求(41x＋3x2)10展开式中含x3的项．由通项公式Tr＋1＝C10r(x－14)10－r(x23)r＝C10rx－10－r4＋2r3，得－10－r4＋2r3＝3，－30＋3r＋8r＝36，11r＝66，∴r＝6.故含有x3的项是第7项T7＝C106x3＝210x3.第34页(2)∵(41x＋3x2)10的展开式共有11项，系数最大项是第6项，∴T6＝C105(x－14)5·(x23)5＝252x2512.第35页【点评】利用二项式系数的性质，可以把在展开式中靠后的二项式系数Cnk转化为靠前的二项式系数Cnn－k，转化后可简化解题过程[本题(1)的解决]；还可以解决与某些较为简单的二项式展开式系数的最大(或最小)有关的问题，但应注意区分二项式系数和展开式系数这两个不同的概念，以及如何将展开式系数的最大与最小的问题转化为用二项式系数的最大与最小来解决问题，本题(2)便是利用二项式系数的最大性来解决问题的，这是因为(a＋b)n的展开式的系数与二项式系数相等的缘故．第36页课后巩固第37页1．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是()A．－27C106B．27C104C．－9C106D．9C104答案D第38页2．在(2x2－1x)5的二项展开式中，x的系数为()A．10B．－10C．40D．－40答案D第39页3．若(x－ax2)6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．第40页答案4解析二项式(x－ax2)6展开式的通项公式是Tr＋1＝C6rx6－r(－a)rx－2r＝C6rx6－3r(－a)r，当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是C62a，根据已知C62a＝60，解得a＝4.第41页4．对于二项式(x3＋1x)n(n∈N*)，四位同学作出了四种判断：①存在n∈N*，使展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．上述判断中正确的是________．答案①④第42页5．求(2x－32x2)5的展开式．解析原式＝C50(2x)5(－32x2)0＋C51(2x)4(－32x2)＋C52(2x)3(－32x2)2＋C53(2x)2(－32x2)3＋C54(2x)(－32x2)4＋C55(－32x2)5＝32x5－120x2＋180x－135x4＋4058x7－24332x10.第43页