2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1-1-2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应

第1页§1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第二课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用第2页解决计数问题的求解方法(1)直接结合运用两个原理解决．首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序．第3页(2)利用一些非常规的方法解决计数问题．①枚举法将各种情况通过树形图、表格等方法一一列举出来，它适用于计数种数较少时，分类计数时将问题分类实际也是将分类种数一一列举出来．②间接法若计数时分类较多或无法直接计数时，可用间接法，先求出没有限制条件的总数，再减去不满足条件的种数．第4页③转换法转换问题的角度或转换成其他已知的问题，在实际应用中，应根据具体问题，灵活处理．第5页课时学案第6页题型一选(抽)取问题例1(1)(2015·郑州高二检测)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种B．35种C．42种D．48种第7页【思路】从已知的数字、号码、集合、人员等选取需要的元素的选(抽)取问题中的计数，关键是首先要将计数分清楚，是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准．第8页【解析】选3门课程，要求A，B两类至少各选1门，可分为两种情况，一类是A类选修2门，B类选修1门，共有3×4＝12种选法；另一类是A类选修1门，B类选修2门，共有3×6＝18种选法．根据分类加法计数原理可得符合条件的选法共有12＋18＝30(种)．【答案】A第9页(2)编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示五个盒子中．要求每个盒子只能放一个小球，且A不能放1，2号，B必须放在与A相邻的盒子中．则不同的放法有________种．第10页【思路】将已知的元素分配到某处问题中的计数，关键是选分配的元素还是分配“地点”为研究对象，进行“分类”还是“分步”．第11页【解析】以小球A放的盒为分类标准，共分为三类：第一类，当小球放在4号盒内时，不同的放法有3×2×1＝6(种)；第二类，当小球放在3号盒内时，不同的放法有3×3×2×1＝18(种)；第三类，当小球放在5号盒内时，不同的放法有3×2×1＝6(种)．综上所述，不同的放法有6＋18＋6＝30(种)．【答案】30第12页探究1选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法：(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．第13页◎思考题1某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A．14B．16C．20D．48第14页【解析】分两类，第一类：甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人出自其余4家企业，由分步乘法计数原理知N1＝2×6＝12种情况；第二类：3人全来自4家企业，有N2＝4种情况．综上可知，共有N＝N1＋N2＝12＋4＝16种情况．【答案】B第15页题型二组数问题例2用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的(1)四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？第16页【思路】四位密码的首位可为0，四位数的首位不能为0，四位奇数的首位不为0且个位必须为奇数．第17页【解析】(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2＝120个．第18页(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1，2，3，4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步，从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96个．第19页(3)完成“组成无复重数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个有2种方法，第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个有3种方法，第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理共有2×3×3×2＝36个．第20页探究2数字问题的解题策略：(1)对于组数问题，一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘，排数时要注意特殊位置、特殊元素优先的原则．第21页(3)用0～9十个数字组成一些特定的数，是两个计数原理的典型应用，往往涉及奇数、偶数及数位的关系等．(4)解决数字问题常用的策略：可从数位入手，逐位探究可能的选取方法，再利用两个原理计算．第22页◎思考题2由数字0，1，2，3，4，5能组成多少个没有重复数字的四位数？第23页【解析】第一步：千位上有1，2，3，4，5，共5种选法；第二步：百位上可以从剩余的5个数中选1个，共5种选法；第三步：十位上可从剩余的4个数中选1个，共4种选法；第四步：个位上可从剩余的3个数中选1个，共3种选法．利用分步计数原理，共有5×5×4×3＝300个没有重复数字的四位数．第24页题型三分配问题例3(1)8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？(2)3位旅客投宿到1个旅馆的4个房间(每房间最多可住3人)有多少种不同的住宿方法？(3)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？第25页【解析】(1)分三步，每位同学取一本书，第1、2、3个同学分别有8、7、6种取法，因而由分步乘法计数原理，不同分法共有N＝8×7×6＝336(种)．(2)分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而共有不同的方法N＝4×4×4＝43(种)．第26页(3)完成这件事情可以分四步，第一步，投第一封信，可以在3个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步，投第二封信，同样有3种投法；第三步，投第三封信，也同样有3种投法；第四步，投第四封信，仍然有3种投法．由分步乘法计数原理，可得出不同的投法共有N＝3×3×3×3＝34(种)．或应用住店法：此题相当于4个人住三间店．第27页探究3(1)题是元素不允许重复选数的问题．(2)题给出了解决“允许元素重复选取”问题的一种方法：住店法．第28页◎思考题3有四位学生参加三项不同的竞赛，(1)每位学生必须参加一项竞赛，则有________种不同的参赛方法；(2)每项竞赛只许有一位学生参加，则有________种不同的参赛方法．【答案】(1)34(2)43第29页题型四涂色问题例4用n种不同颜色为下面两块广告牌着色(如下图①②)，要求在A、B、C、D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色．(1)若n＝6，为①着色时共有多少种不同的方法？(2)若为②着色时共有120种不同的方法，求n.第30页【思路】解答本题可先从不同角度考虑，既可从不相邻区域是否着相同颜色进行分类，也可以从相邻的区域首先着色，不相邻区域再进行着色，分步解决．第31页【解析】(1)方法一分步：先涂B区，有6种涂法，再涂C区，有5种涂法，最后涂A、D区域，各有4种涂法，∴共有6×5×4×4＝480种涂法．第32页方法二以四个区域涂n种颜色为标准分类，可知至少用三种颜色，最多用四种颜色．第一类：用三种颜色着色，A、D区域必须是同种颜色，有6×5×4＝120种涂法．第二类：用四种颜色着色，四个区域的颜色均不相同，有6×5×4×3＝360种涂法．所以共有120＋360＝480种不同方法．第33页(2)与(1)的区别在于与D相邻的区域由两块变成三块．同理，不同的着色方法种数是n(n－1)(n－2)(n－3)＝120＝5×4×3×2.对照易知n＝5.第34页探究4涂色问题的四个解答策略：涂色问题是考查计数方法的一种常见问题，由于这类问题常常涉及分类与分步，所以在高考题中经常出现，处理这类问题的关键是要找准分类标准，求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用的方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算；第35页(2)以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算；(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题；(4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准．第36页◎思考题4用6种不同的颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一色涂不同的区域，但相邻的区域不能涂同一色，则不同的涂法共有()A．400种B．460种C．480种D．496种第37页【解析】6×5×4×4＝480.【答案】C第38页自助餐第39页多面手问题例1某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？【思路】由已知：①会钢琴的有7人；②会小号的有3人；③“多面手”有(7＋3)－9＝1人．解答本题可按“多面手”是否入选为标准进行分类．第40页【解析】由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号各1人的方法分为两类：第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种．第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人中选出，故这类选法共有6×2＝12种．因此共有N＝8＋12＝20种不同的选法．第41页◎思考题本题改为：其中7人会钢琴，4人会小号，结果如何？【解析】可知既会钢琴，又会小号的有(7＋4)－9＝2人，以此两人是否入选进行分类．(其中只会钢琴5人，只会小号2人)(1)2人中有1人入选，有2种选法，剩下的1人从其余7人中任选一个，有7种选法，根据分步计数原理共有2×7＝14种选法；(2)2人均入选，此类即1种选法；第42页(3)2人都不入选，则会钢琴的1人只能从5个只会钢琴者当中选出，会小号的1人也只能从只会小号的2人中选出，故这类选法共有5×2＝10种．根据分类计数原理，共有14＋1＋10＝25种不同选法．第43页课后巩固第44页1．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324B．328C．360D．648答案B解析若组成没有重复数字的三位偶数，可分为两种情况：①当个位上是0时，共有9×8＝72(种)情况；②当个位上是不为0的偶数时，共有4×8×8＝256(种)情况，综上，共有72＋256＝328(种)情况．第45页2．在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是()A．－15B．85C．－120D．274答案A解析根据乘法原理，含x4的项是4个因式中取x，余下一个因式取常数项形成的，所以含x4的项的系数是(－1－2－3－4－5)，即－15.第46页3．春回大地，大肥羊学校的春季运动会正在如火如荼地进行，喜羊羊、懒羊羊、沸羊羊、暖羊羊4只小羊要争夺5项比赛的冠军，则有________种不同的夺冠情况．答案45第47页4.(2015·西安高二检测)湖北省(鄂)分别与湖南(湘)、安徽(皖)、陕西(陕)三省交界(如图)，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省