2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 组合 第2课时 组合的综合应用课件 新

第2课时组合的综合应用目标定位重点难点1.掌握应用组合与组合数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤和方法．2．掌握组合数公式在两个原理中的应用．3．掌握组合数的两个性质．4．能利用两个原理及组合数公式解决一些简单问题.重点：利用两个原理及组合知识解决实际问题．难点：利用两个原理及组合知识解决实际问题.1．某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A．14B．16C．20D．48【答案】B2．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是()A．15B．45C．60D．75【答案】C4．某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是________(用数字作答)．【答案】2663．分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去且每名水暖工只去一个居民家，每个居民家都要有人检查，那么分配的方案共有()A．A34种B．A33·A13种C．C14·C13·A33种D．C24·A33种【答案】D【例1】已知平面M内有4个点，平面N内有5个点，问这9个点最多能确定：(1)多少个平面？(2)多少个四面体？【解题探究】(1)利用直接法分类计算求解．(2)利用“直接分类法”或“间接法”求解均可．与几何有关的组合问题【解析】(1)可分三类．第一类，平面M中取一点，N中取两点最多可确定C14C25个．第二类，平面M中取两点，N中取一点最多可确定C24C15个．第三类，平面M和平面N共2个．故最多可确定C14C25＋C24C15＋2＝72(个)．(2)方法一(直接分类法)：分三类．第一类，平面M内取一个点，N内取三个点，最多可确定C14C35个．第二类，平面M内取两个点，N内取两个点，最多可确定C24C25个．第三类，平面M内取三个点，N内取一个点，最多可确定C34C15个．故共有C14C35＋C24C25＋C34C15＝120(个)．方法二(间接法)：有C49－C45－C44＝120(个)．8利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意：①将已知条件中的元素特征搞清，是用直接法还是间接法；②要使用分类方法，至于怎样确定分类标准，这是一个难点，要具体问题具体分析．1．四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？【解析】如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，各个面上除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3C35种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，与顶点A共面三点的取法有3C35＋3＝33(种)．【例2】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；(3)分成每组都是2本的三个组；(4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本．分组、分配问题【解题探究】这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关．对平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．【解析】(1)分三步，先选一本有C16种选法；再从余下的5本中选两本有C25种选法；最后余下的三本全选有C33种选法．由分步乘法计数原理，知分配方式共有C16·C25·C33＝60(种)．(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)题的基础上，还应考虑再分配问题．因此，分配方式共有C16·C25·C33·A33＝360(种)．(3)先分三步，则应是C26·C24·C22种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C26·C24·C22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)共A33种情况，而且这A33种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分组方式有C26·C24·C22A33＝15(种)．(4)在问题(3)的基础上再分配即可，共有分配方式C26·C24·C22A33·A33＝C26·C24·C22＝90(种)．8解决这类问题的关键是抓住“顺序”二字，辨别在什么情况下与顺序有关，什么情况下与顺序无关，注意“分堆”与“到位”的关系：若只分堆，不指定具体位置，则需注意平均分的情况；所谓“到位”是指分堆后给某人或指定到某些位置．2.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲小组至少2人，乙、丙小组至少1人，则不同的分配方案种数为()A．80B．120C．140D．50【答案】A【解析】当甲中有两个人时，首先选2个人放到甲组，共有C25＝10(种)结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少1人，共有C23A22＝6(种)结果，根据分步乘法计数原理知共有10×6＝60(种)．当甲中有三个人时，有C35A22＝20(种)结果．∴共有60＋20＝80(种)结果．【例3】有6名男医生，4名女医生，从中选3名男医生，2名女医生到5个不同地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，共有多少种不同的分派方案？【解题探究】有限制条件的排列、组合问题，可优先考虑特殊元素或特殊位置，采用先选后排的顺序．排列、组合综合问题【解析】方法一：分两类．第一类，甲被选，共有C25C24C14A44种分派方法；第二类，甲不被选，共有C35C24A55种分派方法．根据分类加法计数原理，共有C25C24C14A44＋C35C24A55＝5760＋7200＝12960(种)．方法二：分两类．第一类，地区A分派女医生，共有C14C13C14A36种；第二类，地区A分派男医生但医生甲不到地区A，共有C15C25C24A44种．根据分类加法计数原理，共有C14C13C14A36＋C15C25C24A44＝12960(种)．8排列组合的综合题，不要片面地套入排列数或组合数，要加强对计数原理的理解和应用．对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种方法处理．3．2016年里约奥运会要从A，B，C，D，E五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中D和E只能从事前两项工作，其余三人均能从事全部工作，则不同的选派方案共有()A．36种B．12种C．18种D．48种【答案】A【示例】以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？因分类不准而出错错解：按照上底面取出点的个数分三类．第一类，上底面恰取1点，这时下底面取3点，有C13·C33＝3个；第二类，上底面恰取2点，下底面也取2点，有C23·C23＝9个；第三类，上底面取3点时，下底面取1点，有C33·C13＝3个．综上知，共可组成3＋9＋3＝15个不同的三棱锥．错因分析：在上述解法中，第二类情形中，所取4点有可能共面，这时，务必注意在上底面取2点，与之对应的下底面的2点只有2种取法．正解：在三棱柱的6个顶点中任取4个顶点有C46＝15种取法，其中侧面上的4点不能构成三棱锥，故有15－3＝12个不同的三棱锥．警示：根据问题的要求，恰当的分类是解决本问题的关键．1．解决排列、组合问题应遵循的原则(1)按元素的性质分类；(2)按事件发生的过程进行分步．2．解决排列、组合应用题的思考途径(1)特征分析：以事物的特征(本质属性)为突破口，寻找解题思路的方法．(2)元素、位置分析法：以元素为主，分析各种可能情况，称为“元素分析法”；以位置为主，分析各种可能情况，称为“位置分析法”．(3)直接法与间接法：直接从正面求出完成事件的各类不同方法的方法数，再求和，称为直接法；先不考虑限制条件，求方法总数，再剔除不合限制条件的方法数，称为间接法．(4)变换命题法：将命题作一等价变换．3．解决排列、组合综合问题的基本方法与技巧审明题意，分清排组；特殊元位，优先考虑；类步不混，善用加乘；模图并示，不重不漏；排组综合，先组后排；加减乘除，灵活运用．1.(2019年福建模拟)从6位女学生和5位男学生中选出3位学生，分别担任数学、信息技术、通用技术科代表，要求这3位科代表中男、女学生都要有，则不同的选法共有()A．810种B．840种C．1620种D．1680种【答案】A【解析】方法一：先选后排,不同的选法共有(C62C51+C61C52)A33=810(种).故选A.方法二：间接法，不同的选法共有A113-A53-A63=810(种).故选A.2.(2019年宁夏模拟)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A.36种B.18种C.24种D.12种【答案】A【解析】先选出2项工作并成一项，看作共有3项工作，再分配给3名志愿者即可，所以不同的安排方式共有C42A33=36种.故选A.3．(2018年永州检测)现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是()A．6B．8C．12D．16【答案】C【解析】若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时共有3C12＝6种安排方案；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时共有2C13＝6种安排方案．综上，不同的考试安排方案共有6＋6＝12(种)．4．圆周上有8个等分点，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为______．【答案】24【解析】圆周上有8个等分点，可组成4条直径，每条直径的两端点和剩下的6个点中任选一点便组成一个直角三角形，∴共有4C16＝24(个)．