2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 组合 第1课时 组合与组合数公式课件

第一章计数原理1.2.2组合第1课时组合与组合数公式第一章计数原理考点学习目标核心素养组合的概念理解组合的概念，能正确区别排列与组合数学抽象组合数公式能记住组合数的计算公式，组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系，并能运用组合数公式与组合数性质进行运算数学运算简单的组合问题能利用组合数公式解决简单的组合应用题逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P21～P24的内容，并思考下列问题：1.组合的概念是什么？2.什么是组合数？组合数公式是什么？3.组合数有哪些性质？1.组合的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素__________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.合成一组■名师点拨对组合概念的三点说明(1)组合的特点组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．(2)组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求．(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合．2.组合数的概念、公式、性质组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的______________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法_____Cmn所有不同组合组合数公式乘积式Cmn＝_____＝___________________________________阶乘式Cmn＝_______________性质Cmn＝_____，Cmn＋1＝__________备注①n，m∈N*且m≤n；②规定C0n＝1AmnAmmn（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！n！m！（n－m）！Cn－mnCmn＋Cm－1n判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.()(2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C24个积．()(3)C35＝5×4×3＝60.()(4)C20162017＝C12017＝2017.()√√×√若C2n＝10，则n的值为()A．10B．5C．3D．4答案：B从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有()A．504种B．729种C．84种D．27种答案：C计算C37＋C47＋C58＋C69＝________.答案：210甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种.解析：车票的票价有C23＝3(种).答案：3判断下列问题是排列问题，还是组合问题.(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？组合概念的理解【解】(1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的排列顺序有关，是排列问题.(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的排列顺序无关，是组合问题.(3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题.判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起．区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(2)从7本不同的书中取出5本给某个同学；(3)10个人互相写一封信，共写了几封信；(4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话.解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题.(2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题.(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题.(4)因为互通电话一次没有顺序之分．故它是组合问题.计算下列各式的值.(1)3C38－2C25；(2)C34＋C35＋C36＋…＋C310；(3)C5－nn＋C9－nn＋1.组合数公式、性质的应用【解】(1)3C38－2C25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)利用组合数的性质Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n，则C34＋C35＋C36＋…＋C310＝C44＋C34＋C35＋…＋C310－C44＝C45＋C35＋…＋C310－C44＝…＝C411－1＝329.(3)由题意知，5－n≤n，5－n≥0，9－n≤n＋1，9－n≥0，解得4≤n≤5.又因为n∈N*，所以n＝4或n＝5.当n＝4时，原式＝C14＋C55＝5.当n＝5时，原式＝C05＋C46＝16.[变条件]若将本例(2)变为：C55＋C56＋C57＋C58＋C59＋C510，如何求解？解：原式＝(C66＋C56)＋C57＋C58＋C59＋C510＝(C67＋C57)＋C58＋C59＋C510＝…＝C610＋C510＝C611＝C511＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用nn－mCmn－1＝nn－m·（n－1）！m！（n－1－m）！＝n！m！（n－m）！＝Cmn进行计算.(2)涉及字母的可以用阶乘式Cmn＝n！m！（n－m）！计算.(3)计算时应注意利用组合数的性质Cmn＝Cn－mn简化运算．1.C58＋C98100C77＝________.解析：C58＋C98100C77＝C38＋C2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.答案：50062.若C23＋C24＋C25＋…＋C2n＝363，则正整数n＝________.解析：由C23＋C24＋C25＋…＋C2n＝363，得1＋C23＋C24＋C25＋…＋C2n＝364，即C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C2n＝364.又Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1，则C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C2n＝C34＋C24＋C25＋…＋C2n＝C35＋C25＋C26＋…＋C2n＝…＝C3n＋1，所以C3n＋1＝364，化简可得（n＋1）n（n－1）3×2×1＝364，又n是正整数，解得n＝13.答案：133.解方程：C3n＋618＝C4n－218.解：由原方程及组合数性质可知，3n＋6＝4n－2或3n＋6＝18－(4n－2)，所以n＝2或n＝8，而当n＝8时，3n＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去.因此n＝2.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.(1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？简单的组合问题【解】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45(种).(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C24种方法.根据分类加法计数原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同的选法.(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90(种).[变问法]本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？解：至少有1名男教师可分两类：1男1女有C16C14种，2男0女有C26种.由分类加法计数原理知有C16C14＋C26＝39(种).最多有1名男教师包括两类：1男1女有C16C14种，0男2女有C24种.由分类加法计数原理知有C16C14＋C24＝30(种).解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用.[注意]在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．1.在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件.(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有C3100＝100×99×981×2×3＝161700(种).(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C12种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C298种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C12·C298＝9506(种).(3)法一：抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C12·C298种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C22·C198＋C12·C298＝9604(种).法二：抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C3100－C398＝161700－152096＝9604(种).2.由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？解：对3个既会唱歌又会跳舞的人进行分类：第一类：若3人都不参加，共有C03C45C45＝25(种)；第二类：若3人都跳舞或都唱歌，共有2C33C15C45＝50(种)；第三类：若3人中有两人唱歌或跳舞，共有2C23C25C45＝300(种)；第四类：若3人中有一人唱歌或跳舞，共有2C13C35C45＝300(种)；第五类：若3人中有两人唱歌第三人跳舞或两人跳舞第三人唱歌，共有2C23C11C25C35＝600(种).第六类：若3人中只有一人唱歌，又有一人跳舞有C13C12C35C35＝600(种).由分类加法计数原理得不同选法共有25＋50＋300＋300＋600＋600＝1875(种).1.下面几个问题属于组合的是()①由1，2，3，4构成双元素集合；②5支球队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法.A．①③B．②④C．①②D．①②④解析：选C．由集合元素的无序性可知①属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故②是组合问题；③，④中两位数顺序不同数字不同为排列问题.2.若Cn12＝C2n－312，则n等于()A．3B．5C．3或5D．15解析：选C．由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C．3.若集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有4个元素的子集共有________个.解析：共有C45＝5个.答案：54.10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C410＝210种分法.答案：2105.平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上(4个点之间的距离各不相等)，此外任何三点不共线.(1)过每两点连线，可得几条直线？(2)以每三点为顶点作三角形可作几个？解：(1)从9个点任取2个点，除去共线的情况，再把多减的一条直线加回来，有C29－C24＋1＝31(条).(2)从9个点任取