2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 排列 第2课时 排列的综合应用课件 新

第2课时排列的综合应用目标定位重点难点1.掌握应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤和方法．2．掌握排列数公式在两个原理中的应用.重点：应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题．难点：应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤：1．将6名同学排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720D．1440【答案】C2.(2019年拉萨月考)从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,则得到的结果有()A.6个B.10个C.12个D.16个【答案】C3．某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求前两个必须播放公益广告，则不同的播放方式有________种．(用数字作答)【答案】124．有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，语文书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有________种．(结果用数字表示)【答案】1440【例1】(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？【解题探究】(1)由条件分析可直接得出结果．(2)利用分类法进行求解．无限制条件的排列问题【解析】(1)从7本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从7个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A37＝7×6×5＝210(种)．(2)分3类完成．第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15种．8解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件，然后按特殊元素(位置)的性质分类，按事件发生的连续过程合理分步来解决．1.(2019年天津期末)五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项.(1)不同的承建方案共有多少种？(2)若甲工程队已经确定承建1号子项目，则不同的承建方案共有多少种？【解析】(1)每一种承建方案对应于五个工程队的一个排列，故不同的承建方案有A55=120(种).(2)甲工程队已经确定承建1号子项目，则其余四个工程队承建剩下4个子项目，不同的承建方案有A44=24(种).【例2】(2017年通化测试)有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间．【解题探究】注意位置和元素的特殊性．有限制条件的排列问题【解析】(1)方法一(元素分析法)：先排甲有6种，再排其余人有A88种，所以共有6·A88＝241920(种)排法．方法二(位置分析法)：中间和两端有A38种排法，包括甲在内的其余6人有A66种排法，所以共有A38·A66＝241920(种)排法．方法三(等机会法)：9个人全排列有A99种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，则甲不在中间及两端的排法总数是A99×69＝241920(种)．方法四(间接法)：A99－3·A88＝6A88＝241920(种)．(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A22·A77＝10080(种)排法．(3)(插空法)先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，所以共有A44·A55＝2880(种)排法．8对于排列问题，一般情况下会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置开始讨论．对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”；对于“在与不在”的问题，常使用“直接法”或“排除法”．2．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位数的奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4310的四位偶数．【解析】(1)方法一(直接法)：从特殊位置入手．分三步完成，第一步先填个位，有A13种填法，第二步再填十万位，有A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有A13A14A44＝288个六位奇数．方法二(直接法)：从特殊元素入手．0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素作全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288个六位奇数．方法三(间接法)：6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的排列数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的排列数有3A44个，故对应的六位奇数的排列数为A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)方法一(间接法)：0在十万位和5在个位的排列都是不符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位且5在个位的情况．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504个．方法二(直接法)：个位不排5，有A15种排法，但十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类．第一类，当个位排0时，有A55个．第二类，当个位不排0时，有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504个．(3)直接法：①当千位上排1,3时，有A12A13A24个．②当千位上排2时，有A12A24个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A13个，形如41××的有A12·A13个．形如43××的只有4310和4302这两个数．故共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110个．【例3】从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的方程有多少个？【解题探究】一元二次方程中a≠0需要考虑到，对有根的一元二次方程，需有Δ＝b2－4ac≥0，这里有两层意思，一是a不能为零，二是要保证b2－4ac≥0.所以可先对c能否取0进行分类讨论．排列与其他知识的综合应用【解析】先考虑组成一元二次方程的问题．首先确定a，只能从1,3,5,7中选一个，有A14种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有A24种．∴由分步乘法计数原理，知共组成一元二次方程A14·A24＝48(个)．方程要有实根，必须满足Δ＝b2－4ac≥0.分类讨论如下：当c＝0时，a，b可在1,3,5,7中任取两个排列，有A24个；当c≠0时，分析判别式知b只能取5,7.当b取5时，a，c只能取1,3这两个数，有A22种；当b取7时，a，c可取1,3或1,5这两组数，有2A22种．此时共有A22＋2A22个．由分类加法计数原理，知有实根的一元二次方程共有A24＋A22＋2A22＝18(个)．8综合问题经常会带有限制，而带有限制的排列综合，一般用分类讨论或者间接法两种方法处理．3．从集合1，2，3，…，20中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？【解析】设a，b，c∈N且a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c应是偶数．因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数．当第一个和第三个数选定后，中间数被唯一确定．因此，选法只有两类．(1)第一、三个数都是偶数，有A210种选法；(2)第一、三个数都是奇数，有A210种选法．于是，选出3个数成等差数列的个数为A210＋A210＝180(个)．【示例】3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，共有多少种排法？思维不严密致错错解：分步完成，先让3名男生站成一排，有A33种排法；再让3名女生插入3名男生形成的4个空当中，有A34种插法．由分步乘法计数原理，共有A33·A34＝144种不同排法．错因分析：不相邻问题，用插空是对的，但上述错解只能保证女生不相邻，并不能保证先排的男生不相邻，如排法“女男女男男女”．正解：第1步，3名男生站成一排，有A33种排法；第2步，插入女生，女生只能插入3名男生形成的前3个空档或后3个空档，有2A33种插法．由分步乘法计数原理，共有2A33·A33＝72种排法．警示：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可，本题要注意不仅保证女生不相邻，还要保证男生也不相邻．1．解答排列应用题时，要注意以下几点(1)解排列应用题，要仔细审题，明确题目中事件是什么，通过什么样的程序解决，进而选用相应模型计算，不能乱套公式，盲目计算．(2)明确问题的限制条件，注意特殊元素和特殊位置，必要时可画出树形图来解．(3)注意间接法的使用．2．结合两个原理解题是处理排列问题必不可少的方法(1)求解排列问题时，正确地理解题意是关键的一步，把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语．(2)正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是十分重要的．分类时，要注意种类之间不重复，不遗漏；分步时，要注意依次做完各个步骤后，事情才能完成．(3)如果不符合条件的情况较少时，也可以采用排除法．【答案】B1．5人排队照相，前排2人，后排3人，则不同的排法种数为()A．A22·A33B．A55C．A33·A33D．A25【解析】问题实际上就是把5个人安排在5个位置上，与分排无关，故共有A55种，故选B.2．甲、乙、丙、丁4个小朋友先后读一本漫画书，甲首先阅读的安排方法有()A．24种B．18种C．12种D．6种【答案】D【解析】先让甲阅读，余下三人阅读顺序为A33，或者先让四个人排列A44，而甲先阅读只占14，所以14·A44＝6种．3.(2019年潍坊模拟)将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A.36种B.42种C.48种D.60种【答案】B【解析】分两种情况：①甲排在最左端，其余4人可任意排列，不同的排法有A44=24种；②乙排在最左端，则甲可排在除左右两端外的其他三个位置，剩下其余3人可任意排列，不同的排法有3A33=18种.所以满足题意的不同排法有24+18=42种.故选B.4.(2019年安徽月考)用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位数的个数是________(用数字作答).【答案】72【解析】由题意可分两种情况，①把1，3，5排在个位、百位、万位，把2，4，6排在十位、千位、十万位，可以得到的六位数的个数为A33A33；①把2，4，6排在个位、百位、万位，把1，3，5排在十位、千位、十万位，可以得到的六位数的个数为A33A33.所以满足题意的六位数的个数是A33A33+A33A33=72.