2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 排列 第2课时 排列的综合应用（习题课

第一章计数原理第2课时排列的综合应用(习题课)第一章计数原理考点学习目标核心素养无限制条件的排列问题能直接利用排列数公式解决与之有关的实际问题数学运算“相邻”与“不相邻”的排列问题能利用排列数公式求解元素“相邻”与“不相邻”问题逻辑推理、数学运算“在”与“不在”的排列问题能正确利用分类讨论思想借助排列数公式求解元素“在”与“不在”问题逻辑推理、数学运算(1)利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(2)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？无限制条件的排列问题【解】(1)本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故有A34＝4×3×2＝24(种)排法，即可以组成24个没有重复数字的三位数.(2)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同的送法种数是A35＝5×4×3＝60，所以，共有60种不同的送法.[变条件]若将本例(2)中的“有5本不同的书”改为“有5种不同的书”，则有多少种不同的送法？解：由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以，共有125种不同的送法.(1)利用排列与排列数解排列应用题的基本思想(2)解简单排列应用题的思路①认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序；②如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件；③运用排列数公式求解.[提醒]解答相关的应用题时不要忽视n为正整数这一条件．1.把3张不同场次的电影票分给10人中的3人，分发种数为()A．2160B．240C．720D．120解析：选C．有A310＝720(种)不同的分法.2.从100个两两互质的数中取出两个，其商的个数为________.解析：从100个两两互质的数中取出两个数，分别作为商的分子和分母，其排列数为A2100.答案：A2100(或9900)3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数.(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻.元素“相邻”与“不相邻”问题【解】(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法.由分步乘法计数原理知，共有A33·A44·A22＝288(种)排队方法.(2)三个男生全排列有A33种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A55种排法．故有A33·A55＝720(种)排队方法.(3)先安排女生，共有A44种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A35种排法，故共有A44·A35＝1440(种)排队方法.(4)排好男生后让女生插空，共有A33·A44＝144(种)排队方法.“相邻”与“不相邻”问题的解决方法处理元素“相邻”与“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列；元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．1.5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为()A．18B．24C．36D．48解析：选C．5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3A33×A22＝36(种).2.排一张5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单.(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：(1)先排歌唱节目有A55种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有A46种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A55·A46＝43200(种).(2)先排舞蹈节目有A44种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A44·A55＝2880(种).六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端.元素“在”与“不在”问题【解】(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A14种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A14·A55＝480(种).法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A25种站法，然后其余4人有A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A25·A44＝480(种).法三：若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲在两端共有2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A66－2A55＝480(种).(2)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44＝48(种)站法.(3)法一：甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种，且甲在左端而乙在右端的站法有A44种，共有A66－2A55＋A44＝504(种)站法.法二：以元素甲分类可分为两类：a.甲站右端有A55种，b.甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A14·A14·A44种，故共有A55＋A14·A14·A44＝504(种)站法.“在”与“不在”问题的解决方法1.(2019·济南高二检测)某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有()A．504种B．960种C．1008种D．1108种解析：选C．第一种：甲、乙相邻排列初一、初二，先排甲和乙，有A22种，然后排丁，有A14种，剩下的其他四个人全排列有A44种；甲、乙相邻排列初六、初七，先排甲和乙，有A22种，然后排丙，有A14种，剩下的其他四个人全排列有A44种，因此有2×A22A14A44＝384(种)安排方案；第二种：甲乙相邻排中间，若丙排初七，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×A22种，剩下四个人全排列有A44种，若丙不排初七，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×A22种，然后排丙，丙不在初一和初七，有A13种，接着排丁，丁不在初七，有A13种，剩下3个人全排列，有A33种，因此共有4A22A44＋4A22A13A13A33＝624(种)安排方案，所以共有384＋624＝1008(种)不同的安排方案.2.用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？(1)六位数且是奇数；(2)个位上的数字不是5的六位数.解：(1)法一：从特殊位置入手(直接法)：第一步：排个位，从1，3，5三个数字中选1个，有A13种排法；第二步：排十万位，有A14种排法；第三步：排其他位，有A44种排法.故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有A13A14A44＝288(个).法二：从特殊元素入手(直接法)：0不在两端，有A14种排法；从1，3，5中任选一个排在个位上，有A13种排法；其他数字全排列有A44种排法.故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有A14A13A44＝288(个).法三：(排除法)①从整体上排除：6个数字的全排列数为A66，0，2，4在个位上的排列数为3A55，而1，3，5在个位上，0在十万位上的排列数为3A44，故符合题意的六位数且是奇数的共有A66－3A55－3A44＝288(个).②从局部上排除：1在个位上的排列有A55个，其中0在十万位上的排列有A44个，故1在个位上的六位数且是奇数的有(A55－A44)个，同理，3，5在个位上的六位数且是奇数的也各有(A55－A44)个，因此符合题意的六位数且是奇数的共有3(A55－A44)＝288(个)．(2)法一：(排除法)6个数字的全排列有A66个，0在十万位上的排列有A55个，5在个位上的排列有A55个，0在十万位上且5在个位上的排列有A44个，故符合题意的六位数共有A66－A55－(A55－A44)＝504(个)．法二：(直接法)个位上不排5，有A15种排法．但十万位上数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此，需分两类：第一类，当个位上排0时，有A55种排法；第二类，当个位上不排0时，有A14·A14·A44种排法.故符合题意的六位数共有A55＋A14·A14·A44＝504(个).1.用1，2，3，…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324B．224C．360D．648解析：选B．先排个位数，有A14种，然后排十位和百位，有A28种，故共有A14A28＝224(个)没有重复数字的三位偶数.2.A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有()A．60种B．48种C．36种D．24种解析：选D．把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A44＝24(种)排法.3.5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有________种.解析：第1步，先排5位母亲的位置，有A55种排法；第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示：___母亲___母亲___母亲___母亲___母亲___，共有A56种排法.由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有A55·A56＝86400(种).答案：864004.3名男生，4名女生，全体站成一排，其中甲只能站中间或两端，求排队的方法种数.解：(特殊元素优先法)先考虑甲的位置，有A13种方法，再考虑其余6人的位置，有A66种方法.故有A13·A66＝2160(种)方法.