2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综

1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用目标定位重点难点1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．会用分类加法计数原理与分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.重点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用．难点：正确区分“分类”和“分步”.1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题．其区别在于：分类加法计数原理针对的是“________”问题，其中各种方法__________，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“________”问题，各步的每一种方法只能完成任务的一部分，并且完成这件事的任何一种方法都需要分步，只有各个步骤都完成之后才算做完这件事．分类相互独立分步2．应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的关键是弄清楚是“________”还是“________”，接下来还要搞清楚“________”或“________”的具体标准是什么．分类分步分类分步1．从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是()A．10B．15C．20D．25【答案】D2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40B．16C．13D．10【答案】C3．在1,2,3，…，200中，能够被5整除的数共有______个．【答案】404．从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________．【答案】2010【例1】用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数？【解题探究】本题为分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合．组数问题【解析】方法一：按末位是0,2,4分为三类．第一类，末位是0的有4×4×3＝48(个)；第二类，末位是2的有3×4×3＝36(个)；第三类，末位是4的有3×4×3＝36(个)．则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)．方法二：按千位是2,3,4,5分四类．第一类，千位是2的有2×4×3＝24(个)；第二类，千位是3的有3×4×3＝36(个)；第三类，千位是4的有2×4×3＝24(个)；第四类，千位是5的有3×4×3＝36(个)．则由分类加法计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)．方法三：间接法．用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：第一类，末位是0的有5×4×3＝60(个)；第二类，末位是2或4的有2×4×4×3＝96(个)．共有60＋96＝156(个)．其中比2000小的千位是1，共有3×4×3＝36(个)．所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)．8要注意到0不能在千位上出现，分情况时要特别注意，不然就会导致结果有误．1．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279【答案】B【解析】由0,1，…，9组成三位数时，0不能做百位，故百位有9种选法；十位、个位可任意选数，都有10种选法，由分步乘法计数原理知由0,1，…，9组成的所有三位数的个数是9×10×10＝900.同理组成的无重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648.故由0,1，…，9组成的有重复数字的三位数的个数是900－648＝252.【例2】甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？【解题探究】利用枚举法或间接法求解即可．选(抽)取问题【解析】方法一：枚举法．(1)甲取得乙卡，分配方案如表．此时乙有甲、丙、丁3种取法．若乙取甲，则丙取丁、丁取丙，故有3种分配方案．(2)甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下，丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲．(3)甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下，丁甲乙丙、丁丙甲乙、丁丙乙甲．由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9种．方法二：间接法．4个人各取1张贺卡．甲先取1张贺卡有4种方法，乙再取1张贺卡有3种方法，然后丙取1张贺卡有2种方法，最后丁仅有1种方法．由分步乘法计数原理，4个人各取1张贺卡共有4×3×2×1＝24种．4个人都取自己写的贺卡有1种方法；2个人取自己写的贺卡，另2个人不取自己所写贺卡方法有6种(即从4个人中选出取自己所写的贺卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁)；1个人取自己写的贺卡，另3个人不取自己所写贺卡方法有8种(从4个人中选出自己写贺卡的1个人有4种方法，而3个人都不取自己所写贺卡的方法有2种)．因此，4个人都不取自己所写贺卡的取法有24－(1＋6＋8)＝9(种)．方法三：分步法．第一步，甲取1张不是自己所写的贺卡，有3种取法；第二步，由甲取的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法；第三步，由剩余两个人中任1个人取，此时只有1种取法；第四步，最后1个人取，只有1种取法．由分步乘法计数原理，共有3×3×1×1＝9种．8枚举法常用于比较简单、分类情况比较少的题目，通过直观的列举情况得出相应答案；间接法通常用于从正面分步、分类比较麻烦但是其相反的情况比较容易得出结果的题目，通过总体排除不符合条件的答案，剩下的就是对应答案．2．某电视台的《欢乐今宵》节目的抽奖环节，有两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封．现由主持人抽奖确定幸运观众．若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？【解析】分两类．(1)幸运之星在甲箱中抽，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17400种结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有20×19×30＝11400种结果．因此共有17400＋11400＝28800种不同的结果．【例3】将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？【解题探究】这里的“完成一件事”是指得到一个公共边区域不同色的涂色面．涂色问题【解析】给出区域标记号A，B，C，D，E(如下图)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色，如果B与D颜色相同，有2种，如果不相同，则只有1种，因此应先分类后分步．(1)当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种．(2)当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种．故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．8解决涂色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相邻区域的颜色问题；二是按使用颜色的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数．解决此类题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分．3．(1)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求不同的种植方法总数．(2)将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．【解析】(1)第1步，将黄瓜种在其中的一块地上，有3种种法；第2步，剩下的两块地分别有3种、2种种法．根据分步乘法计数原理，共有3×3×2＝18种种法．(2)按照S→A→B→C→D的顺序分类．第一类，A，C涂相同颜色有5×4×3×1×3＝180(种)；第二类，A，C涂不同颜色有5×4×3×2×2＝240(种)．共有染色方法180＋240＝420(种)．“分类”与“分步”考虑不全面【示例】已知集合M＝1，－2，3，N＝－4，5，6，－7，从M，N这两个集合中各选一个元素组成点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是多少？错解：用分类加法计数原理分两类．第一类：第一象限内的点，M中的正数有2个，N中的正数也有2个，由分步乘法计数原理得2×2＝4个；第二类，第二象限内的点，M中的负数有1个，N中的正数有2个，由分步乘法计数原理得1×2＝2个．由分类加法计数原理可知满足题意的点共有6个．错因分析：由于题中没有指明选出的数是横坐标还是纵坐标，所以要分两种情况考虑．而上面的解法仅仅考虑了M中的数作横坐标，N中的数作纵坐标这一种情况，从而造成漏解．正解：先分两类，第一类，M中的数作横坐标，N中的数作纵坐标，同错解，共有6个点．第二类，M中的数作纵坐标，N中的数作横坐标．再分两类，第一类，第一象限内的点，由分步乘法计数原理得2×2＝4个；第二类，第二象限内的点，由分步乘法计数原理得2×2＝4个．共有8个点．综上，共有14个点满足题意．警示：使用两个计数原理时要注意看完成这件事情到底是要分步还是要分类，同时，无论分类还是分步都要做到不重复、不遗漏．1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个事件来完成；不同点是，分类加法计数原理与类有关，分步乘法计数原理与分步有关．2．两个原理的条件和结论．(1)如果完成一件事有n类方案，这n类方案彼此之间是相互独立的，无论哪一类方案中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理．(2)如果完成一件事需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理．3．在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么，简单地说“分类互斥”“分步互依”，关键看能否独立完成这件事．与此同时，还要注意分类、分步不能重复、不能遗漏．4．对于较为复杂的既要用分类加法计数原理，又要用分步乘法计数原理的问题，可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于解题．11.(2019年辽宁模拟)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有()A.30种B.50种C.60种D.90种【答案】B【解析】若甲同学选牛，则乙同学可以选狗或羊，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有2×10=20种选法；若甲同学选马，则乙同学可以选牛、狗或羊，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有3×10=50种选法.所以选法共有20+30=50种.故选B.2．从A村去B村的道路共有2条，从B村去C村的道路共有3条，从A村直接去C村(不经过B村)的道路有4条，那么从A村去C村，不同的走法的种数是()A．6B．7C．10D．12【答案】C【解析】从A直接去C有4种走法，从A到C经过B有2×3＝6种走法，∴从A到C共有4＋6＝10种不同的走法．3.(2019年东莞期末)高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A.16种B.18种C.37种D.48种【答案】C【解析】若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有4×4×4=64种情况.若甲工厂没有班级去，即每个班级都从其他三个工厂中选择，此时每个班级都有3种选择，共有3×3×3=27种情况.所以符合要求的情况有64-27=37种.故选C.4．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植1垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有______种．【答案】12【解析】A种植在左边第一垄时，B有3种不同情况；A种植在左边第二垄时，B有2种不同情况；A种植在左边第三垄时，B有1种情况．B在左边种植的情形与上述情形相同．共有2×(3＋2＋1)＝12种不同种植方法．