2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课

第一章计数原理第2课时计数原理的综合应用第一章计数原理考点学习目标核心素养组数问题会利用两个计数原理解决数字组成问题逻辑推理选(抽)取与分配问题会根据实际问题选择加法计数原理或乘法计数原理解决选取及分配问题逻辑推理涂色(种植)问题会利用两个计数原理及分类讨论思想求解涂色(种植)问题逻辑推理用0，1，2，3，4五个数字，(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？组数问题【解】(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个)．(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个)．(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．1．[变问法]由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理共有2×3×3×2＝36(个)．2．[变问法]在本例条件下，能组成多少个能被3整除的四位数？解：一个四位数能被3整除，必须各位上数字之和能被3整除，故组成四位数四个数字只能是0，1，2，3或0，2，3，4两类．所以满足题设的四位数共有2×3×3×2×1＝36(个)．解决组数问题的方法(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位．解析：选B．根据0的位置进行分类：第一类，0在个位有2110，1210，1120，共3个；第二类，0在十位有2101，1201，1102，共3个；第三类，0在百位有2011，1021，1012，共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9.1．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为()A．6B．9C．12D．242．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有()A．120个B．80个C．40个D．20个解析：选C．当十位数字为3时，个位数字和百位数字只能取1，2，能组成2个“伞数”；当十位数字为4时，个位数字和百位数字能取1，2，3，能组成3×2＝6个“伞数”；当十位数字为5时，个位数字和百位数字能取1，2，3，4，能组成4×3＝12个“伞数”；当十位数字为6时，个位数字和百位数字能取1，2，3，4，5，能组成5×4＝20个“伞数”，所以共能组成2＋6＋12＋20＝40个“伞数”．高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种选(抽)取与分配问题【解析】法一：(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9种；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27种．综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种)．法二：(间接法)先计算三个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37(种)方案．【答案】C解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．1．某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有()A．24种B．48种C．64种D．81种解析：选A．由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24(种)不同的参赛方法．2．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？解：由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人记为甲)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人．把从中选出会钢琴与会小号各1人的方法分为两类．第1类，甲入选，另1人只需从其他8人中任选1人，故这类选法共8种；第2类，甲不入选，则会钢琴的只能从6个只会钢琴的人中选出，有6种不同的选法；会小号的也只能从只会小号的2人选出，有2种不同的选法．所以这类选法共有6×2＝12(种)．因此共有8＋12＝20(种)不同的选法．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种同样颜色的花，求共有多少种不同的栽种方法．涂色(种植)问题【解】分两大类．第一大类，6，5，1，2四部分栽种4种不同颜色的花，共分两步．第1步，在6，5，1，2四部分栽种不同颜色的花，共有4×3×2×1＝24(种)不同栽法；第2步，栽种3，4部分，又有两类．第1类，3与6栽种的颜色相同，4与2栽种的颜色相同，有1种栽法；第2类，3与5栽种的颜色相同，4与2或6栽种的颜色相同，有2种栽法，共有1＋2＝3(种)栽法．由分步乘法计数原理，第一大类共有24×3＝72(种)不同的栽种方法．第二大类，在6，5，1，2四部分中，2与5栽种的颜色相同，可分三步．第1步，栽种6，5，1部分，可从4种颜色的花中选3种进行栽种，有4×3×2＝24(种)栽法；第2步，栽种第2部分，与5相同，有1种栽法；第3步，栽种3，4部分，又有两类．第1类，3与6相同，4栽种剩余的第4种颜色的花，有1种栽法；第2类，3栽种剩余第4种颜色的花，4与6栽种相同颜色的花，有1种栽法，共有2种栽法．由分步乘法计数原理得第二大类共有24×1×2＝48(种)不同的栽种方法．故共有72＋48＝120(种)不同的栽种方法．解决涂色(种植)问题的一般思路涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．(3)将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题．种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数．或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数．1.如图所示的几何体是由一个三棱锥P­ABC与三棱柱ABC­A1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有________种．解析：先涂三棱锥P­ABC的三个侧面，再涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2＝(12)种不同的涂法．答案：122．将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法.解：分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.(i)若第三块田放c：abc第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4种方法.(ii)若第三块田放a：aba第四块有b或c两种方法：①若第四块放c：abac第五块有2种方法；②若第四块放b：abab第五块只能种作物c，共1种方法.综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42种方法.1.有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有()A．6种B．5种C．4种D．3种解析：选C．若选甲、乙二人，可以甲操作A种车床，乙操作B种车床，或甲操作B种车床，乙操作A种车床，共有2种选派方法；若选甲、丙二人，则只有甲操作B种车床，丙操作A种车床这一种选派方法；若选乙、丙二人，则只有乙操作B种车床，丙操作A种车床这一种选派方法.故共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．故选C．2.由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为()A．15B．12C．10D．5解析：选D．分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个.3.如图，要给地图上A、B、C、D四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，则不同的涂色方案有________种.解析：法一：按A→B→C→D的顺序分步涂色.第一步：涂A区域，有4种不同的涂法；第二步：涂B区域，从剩下的3种颜色中任选1种颜色，有3种不同的涂法；第三步：涂C区域，再从剩下的2种不同颜色中任选1种颜色，有2种不同的涂法；第四步：涂D区域，从与B，C区域不同的2种不同颜色中任选1种，有2种不同的涂法.根据分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48(种)不同的涂法.法二：按所用颜色的多少分类涂色.第一类：用三种颜色，有4×(3×2×1×1)＝24(种)不同的涂法；第二类：用四种颜色，有4×3×2×1＝24(种)不同的涂法.根据分类加法计数原理，共有24＋24＝48(种)不同的涂法.答案：484.某文艺小组有20人，其中会唱歌的有14人，会跳舞的有10人，从中选出会唱歌与会跳舞的各1人参加演出，且既会唱歌又会跳舞的至多选1人，有多少种不同的选法？解：第1类，首先从只会唱歌的10人中选出1人，有10种不同的选法，从会跳舞的10人中选出1人，有10种不同的选法，共有10×10＝100种不同的选法；第2类，从既会唱歌又会跳舞的4人中选1人，再从只会跳舞的6人中选1人，共有4×6＝24种不同的选法．所以一共有100＋24＝124(种)不同的选法.