2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 第一课时

[自主梳理]一、分类加法计数原理(也称加法原理)1．原理内容完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝__________________种方法．m1＋m2＋…＋mn2．问题特征(1)完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类；(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；(3)把各类的方法数________，就可以得到完成这件事的所有方法数．二、分步乘法计数原理(也称乘法原理)1．原理内容完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝________________种方法．相加m1×m2×…×mn2．问题特征(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；(2)完成每一步有若干种方法；(3)把各个步骤的方法数__________，就可以得到完成这件事的所有方法数．相乘[双基自测]1．从甲地到乙地一天之中有三次航班、两趟火车，某人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地的方法有()A．2种B．3种C．5种D．6种解析：从甲地到乙地有2类办法(坐飞机和坐火车)，坐飞机有3种方法(三次航班)，坐火车有2种方法(两趟火车)，所以结合分类加法计数原理，从甲地赶往乙地的方法有5种．C2．一个口袋里有15封信，另一个口袋里有4封信，每封信的内容均不相同．从两个口袋中任取一封信，有________种不同的取法．3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数共有____个．解析：由分类加法计数原理知N＝15＋4＝19.19解析：a有4种取法，b与c各有5种取法，由分步乘法计数原理得共有4×5×5＝100(个)．100探究一分类加法计数原理的应用[例1]在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学医学化学会计学数学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？[解析]这名同学可以选择A、B两所大学中的任一所．在A大学中有5个强项专业，即有5种选择方法，在B大学中有4个强项专业，即有4种选择方法．由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据加法原理，这名同学可能的选择种数为5＋4＝9.分类加法计数原理的关键是适当的分类．分类时应注意，分类的过程中自始至终要按同一个标准，不能在前半部分按这个标准，后半部分又出现另一个标准．如果有重漏现象就是分类的标准不合适，必须换一个标准进行分类．1．小明衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30个英语单词卡片，右边口袋装有20个英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一个英语单词卡片，有多少种不同的取法？解析：从口袋中任取一个英语单词卡片的方法有两类：第一类：从左边口袋取一个英语单词卡片有30种不同的取法；第二类：从右边口袋中取一个英语单词卡片有20种不同的取法．上述任何一种取法都能独立完成“取一个英语单词卡片”这件事，应用分类加法计数原理，所以从中任取一个英语单词卡片有30＋20＝50种不同的取法．探究二分步乘法计数原理的应用[例2]用0,1,2,3,4这5个数字可以组成多少个无重复数字的(1)银行存折的四位密码？(2)四位数？[解析](1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四步完成：第一步：选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．由分步乘法计数原理，可组成不同的四位密码共有5×4×3×2＝120个．(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步完成：第一步：从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步：从剩余的四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步：从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步：从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，可组成的不同的四位数共有4×4×3×2＝96(个)．利用分步乘法计数原理解决问题的注意点(1)分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可．2．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共5个人，每个人都可以多值几天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有________种不同的排法．解析：先排第一天，可排5人中任一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有4种排法；同理，第四、五天各有4种排法．由分步乘法计数原理，可得值班表不同的排法共有：N＝5×4×4×4×4＝1280(种)．答案：1280探究三两个计数原理的选择[例3]一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动手机卡和一张联通手机卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？[解析](1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：第一类：从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法．(2)想得到一张移动手机卡和一张联通手机卡可分两步进行：第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法；第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法．解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道应用哪个原理解题的情况，其思维障碍在于没有区分该问题是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完成一件事”的含义．具体应用时灵活性很强，要在做题过程中不断体会和思考，基本原则是“化繁为简”．3．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．(1)若小明的爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？解析：(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类，选东面的空闲凳子，有8种选法；第二类，选西面的空闲凳子，有6种选法．根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14(种)坐法．(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西两面共14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法(小明坐下后，空闲凳子数变成13)；第二步，小明爸爸再就坐，从东西两面余下的13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种不同的坐法．对两个基本原理认识不清致误[典例](1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有________．A．24种B．4种C．43种D．34种(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，此人的走法可有__________种．[解析](1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法．(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(种)．[答案](1)C(2)7[错因与防范]1.解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理来计算．解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种，没有注意到一封信只能投在一个信箱中；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理计算．2．每封信只能投到一个信箱里，而每个信箱可以装1封信，也可以装2封信，其选择不是唯一的，所以应注意由信来选择信箱，每封信有4种选择．3．在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么．选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏．用0,1,2,3,4五个数字，(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？解析：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种)．(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种)．(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．