2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念章末归纳整合课件 新人教A版必修1

章末归纳整合补集思想为研究问题开辟了新的思路，在顺向思维受阻或比较繁琐时，改用逆向思维，即采用“正难则反”的方法.补集思想是转化思想的又一种体现.补集思想的应用【例1】已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x＞0}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围.【解析】设方程x2－4ax＋2a＋6＝0有实数根时a的取值范围是集合U，令Δ＝(－4a)2－4(2a＋6)≥0，即(a＋1)·a－32≥0，解得a≤－1或a≥32，即集合U＝aa≤－1或a≥32.若方程x2－4ax＋2a＋6＝0的两根x1，x2均非正，则a∈U，x1＋x2＝4a≤0，x1x2＝2a＋6≥0，所以－3≤a≤－1，此时A∩B＝∅.因为{a|－3≤a≤－1}在U中的补集是aa＜－3或a≥32，所以当A∩B≠∅时，实数a的取值范围是aa＜－3或a≥32.【点评】由A∩B≠∅可知集合A≠∅，所以A中的方程有实根，且有①两(相等或不等)正根；②一正根一负根；③一正根一零根，三种情形，逐一求解，再求并集，显然比较繁杂；根据“正难则反”的解题策略，这三种情形的反面是两根都是非正根，即x1≤0且x2≤0.全集则是A为非空集合时，a的取值范围，这可根据Δ≥0求得，然后再用补集的思想求解.1.已知集合A＝{x|2m－1x3m＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥5}，是否存在实数m，使A∩B≠∅？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】若A∩B＝∅，分A＝∅和A≠∅讨论：(1)若A＝∅，则2m－1≥3m＋2，解得m≤－3，此时A∩B＝∅.(2)若A≠∅，要使A∩B＝∅，则应有2m－13m＋2，2m－1≥－2，3m＋2≤5，即m－3，m≥－12，m≤1.所以－12≤m≤1.综上，当A∩B＝∅时，m≤－3或－12≤m≤1.所以当m1或－3m－12时，A∩B≠∅.故实数m的取值范围为(1，＋∞)∪－3，－12.数形结合思想是本章最重要的数学思想方法，通过画出函数的图象，使我们所要研究的问题更加清晰，有助于提高解题的速度和准确率.【例2】对于函数f(x)＝x2－2|x|.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.数形结合思想在函数中的应用【解析】(1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数.图象关于y轴对称.(2)f(x)＝x2－2|x|＝x2－2x＝x－12－1x≥0，x2＋2x＝x＋12－1x＜0.画出图象如图所示，根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；减区间是(－∞，－1]，[0,1].【点评】函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等.反之，掌握好函数的性质，有助于正确画出图象.函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点.2.对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是______.【答案】【解析】首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中最大的一个.如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8).从图象观察可得函数f(x)的表达式f(x)＝x2－4x＋3，x≤0，－x＋3，0x≤1，32x＋12，1x≤5，x2－4x＋3，x5.f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来解决.化成部分后，从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏.本章中涉及分类讨论的知识点为：集合运算中对∅的讨论，二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等.分类讨论思想的应用【例3】设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.【解析】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.当t＋11，即t0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f(1)＝1；当t1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上所述，f(x)min＝t2＋1，t＜0，1，0≤t≤1，t2－2t＋2，t＞1.【点评】解决本题的关键是将对称轴与区间进行比较，分三种情况进行讨论，讨论时注意不重不漏.3.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C．【解析】∵A∪B＝A，∴B⊆A．(1)当B≠∅时，由x2－3x＋2＝0，得x＝1或2.当x＝1时，a＝2；当x＝2时，a＝1.(2)当B＝∅时，a＝0，符合题意.故实数a组成的集合C＝{0,1,2}.从近几年高考信息统计看出，本章命题呈现以下特点：(1)集合是高考的必考内容，题型为选择题，分值为5分，难度为容易题，主要考查集合的基本运算及集合间的关系.(2)函数的基本性质是高考考查的重点内容，主要考查函数的单调性、奇偶性以及利用函数的基本性质解决有关的数学问题.考查学生应用知识解决问题的能力，题目以客观题为主，分值5分，难度以中低档题为主.1．(2018年新课标Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0}B．{1}C．{1,2}D．{0,1,2}【答案】C【解析】A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，则A∩B＝{x|x≥1}∩{0,1,2}＝{1,2}．2．(2018年浙江)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁UA＝()A．∅B．{1,3}C．{2,4,5}D．{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】根据补集的定义可知∁UA＝{2,4,5}．3．(2017年山东)设f(x)＝x，0＜x＜1，2x－1，x≥1，若f(a)＝f(a＋1)，则f1a＝()A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】若a≥1，则a＋1≥2，由f(a)＝f(a＋1)，可得2(a－1)＝2[(a＋1)－1]，无解；若0＜a＜1，则a＋11，由f(a)＝f(a＋1)，可得a＝2(a＋1－1)，解得a＝14，则f1a＝f(4)＝2×(4－1)＝6.故选C.4．(2017年新课标Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2,2]B．[－1,1]C．[0,4]D．[1,3]【答案】D【解析】∵函数f(x)为奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.又函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，－1≤f(x－2)≤1，即f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，∴－1≤x－2≤1,1≤x≤3.故选D.5．(2017年新课标Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝______.【答案】12【解析】当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，所以f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12.又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝12.