2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性 第二课时 函数奇偶性的应

第二课时函数奇偶性的应用(习题课)[目标导航]课标要求1.能够根据函数的奇偶性求函数值或解析式.2.能够利用函数的奇偶性与单调性,解决较简单的问题.素养达成1.通过运用函数的奇偶性求函数值或解析式,培养数学运算的核心素养.2.通过奇偶函数的图象性质在解题中的应用培养直观想象的核心素养.课堂探究·素养提升题型一利用奇偶性求函数值[例1](2017·江西自主招生)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于()(A)3(B)1(C)-1(D)-3解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.故选D.误区警示本题中当x≥0时,函数解析式含参数b,因此需利用奇函数在原点处有定义,则f(0)=0的性质,求出b的值,然后根据奇函数性质求f(-1)的值.解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1).又因为x∈[0,+∞)时,f(1)=1×(1+31)=2.所以f(-1)=-2.即时训练1-1:设f(x)是R上的奇函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x(1+3x),则f(-1)=.答案:-2[备用例1]已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=.解析:因为f(x)-g(x)=x3+x2+1,所以f(-1)-g(-1)=-1+1+1=1,又因为f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,所以f(1)=f(-1),g(1)=-g(-1),所以f(-1)-g(-1)=f(1)+g(1),所以f(1)+g(1)=1.答案:1题型二利用奇偶性求函数f(x)的解析式[例2](1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且x0时,f(x)=x2+x+1,求x0时函数解析式.(2)已知f(x)是偶函数,且当x0时,f(x)=x3+2x-3,求f(x)在x0时的解析式.解:(1)设x0,则-x0,所以f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1.又因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).即-f(x)=x2-x+1,因此f(x)=-x2+x-1.所以x0时,函数解析式为f(x)=-x2+x-1.(2)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x).令x0,则-x0.所以f(-x)=(-x)3+2(-x)-3=-x3-2x-3,所以f(x)=-x3-2x-3.所以x0时的解析式为f(x)=-x3-2x-3.一题多变:(1)本例(1)中改为求x∈R时函数f(x)的解析式;解:(1)设x0,则-x0,用-x替换f(x)=x2+x+1中的x,得f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1.又因为f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),所以x2-x+1=-f(x),即f(x)=-x2+x-1.所以当x0时,f(x)=-x2+x-1.又f(x)是奇函数,故f(0)=0.所以f(x)=221,0,0,0,1,0.xxxxxxx(2)本例(1)中改为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且x≥0时,f(x)=x2+x+a-1,求x0时函数解析式.解:(2)因为f(x)为奇函数且x≥0时,f(x)=x2+x+a-1.所以f(0)=0,所以a=1.所以x≥0时,f(x)=x2+x.设x0,则-x0.所以f(-x)=x2-x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以f(x)=x-x2.所以x0时,f(x)=x-x2.方法技巧利用函数奇偶性求解析式时的注意事项:(1)求哪个区间上的解析式,就在哪个区间上取x.(2)然后要利用已知区间的解析式写出f(-x).(3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x).(4)要注意R上的奇函数定有f(0)=0.若是求整个定义域内的解析式,各区间内解析式不一样时其结果一般为分段函数的形式,此点易忽略.[备用例2]已知函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,它们的定义域为{x|x∈R且x≠±3},且f(x)+g(x)=23xx,求f(x),g(x)的解析式.解:因为f(x)+g(x)=23xx,①所以f(-x)+g(-x)=23xx=23xx.因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以-f(x)+g(x)=23xx,②由①②得f(x)=269xx,g(x)=2229xx.题型三函数的奇偶性与单调性的综合[例3](12分)已知奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,若f(1-2x)+f(3-x)0,求x的取值范围.规范解答:因为f(1-2x)+f(3-x)0,所以f(1-2x)-f(3-x).…………1分又f(x)是奇函数,所以f(1-2x)f(x-3).………………………………3分又f(x)是(-3,3)上的减函数,所以3123,333,123,xxxx即12,06,4.3xxx………………………………………9分所以0x43.………………………………………………………11分所以满足条件的x的取值范围是{x|0x43}.…………………12分一题多变:本题中若改为f(x)是定义在(-3,3)上的偶函数,且在(0,3)上是增函数.若f(1-2x)f(x-3),求x的取值范围.解:因为f(x)是(-3,3)上的偶函数.所以f(1-2x)f(x-3)可化为f(|1-2x|)f(|x-3|).又f(x)是(0,3)上的增函数.所以123,33,123,xxxx即12,06,42.3xxx所以0x43.方法技巧(1)充分利用已知的条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式,再利用单调性脱掉“f”求解.(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致,偶函数的单调性相反,列出不等式或不等式组,求解即可,同时要注意函数自身定义域对参数的影响.(3)涉及偶函数时,可利用f(-x)=f(x)=f(|x|),将问题转化为函数在[0,+∞)上的单调性求解.(1)解析:对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有2121fxfxxx0,则x2-x1与f(x2)-f(x1)异号,因此函数f(x)在[0,+∞)上是减函数.又f(x)在R上是偶函数,故f(-2)=f(2).由于321,故有f(3)f(-2)f(1).选A.[备用例3](1)定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有2121fxfxxx0,则()(A)f(3)f(-2)f(1)(B)f(1)f(-2)f(3)(C)f(-2)f(1)f(3)(D)f(3)f(1)f(-2)(2)已知奇函数f(x)在区间[-b,-a](ba0)上是一个恒大于0的减函数,试问函数|f(x)|在区间[a,b]上是增函数还是减函数?证明你的结论.(2)解:|f(x)|在区间[a,b]上是增函数.证明如下:任取a≤x1x2≤b,则-a≥-x1-x2≥-b,由f(x)在[-b,-a]上是恒大于0的减函数,得0f(-x1)f(-x2).又f(x)是奇函数,则0-f(x1)-f(x2),于是0f(x1)f(x2),所以f(x1)-f(x2)0.而|f(x2)|-|f(x1)|=-f(x2)-[-f(x1)]=f(x1)-f(x2)0,所以函数|f(x)|在区间[a,b]上是增函数.题型四抽象函数的奇偶性[例4]已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0),f(1)的值;解:(1)令a=b=0,则f(0×0)=0·f(0)+0·f(0)=0,所以f(0)=0.令a=b=1,则f(1×1)=f(1)+f(1),得f(1)=0.(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论.解:(2)f(x)是奇函数,证明如下:令a=b=-1,则f(1)=-f(-1)-f(-1)=0,所以f(-1)=0.令a=-1,b=x,则f(-x)=f[(-1)·x]=-f(x)+xf(-1)=-f(x).故f(x)为奇函数.方法技巧根据抽象函数的性质,判断抽象函数的奇偶性,主要是利用赋值法,构造f(x)与f(-x)的关系.即时训练4-1:函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇函数.证明:设a=0,则f(b)=f(0)+f(b),所以f(0)=0.又设a=-x,b=x,则f(0)=f(-x)+f(x).所以f(-x)=-f(x).所以f(x)是奇函数.题型五易错辨析[例5]已知f(x)为奇函数,且在区间(-∞,0)上为减函数,f(-2)=0,求f(x)0的解集.错解:因为f(-2)=0,所以f(x)0即f(x)f(-2).又因为f(x)在(-∞,0)上为减函数,所以x-2.又x0,所以-2x0.所以f(x)0的解集为(-2,0).纠错:本题中f(x)为奇函数,在上述解题过程中,只考虑了函数f(x)在(-∞,0)上为减函数,而没有考虑x0时的情况.正解:因为函数f(x)为奇函数且f(-2)=0,所以f(2)=0.因为奇函数f(x)在(-∞,0)上为减函数,根据奇函数图象关于原点对称的性质知f(x)在(0,+∞)上也是减函数,所以当x0时,由f(x)0知f(x)f(-2),所以-2x0.当x0时,由f(x)0知f(x)f(2),所以x2.所以f(x)0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).课堂达标解析:设x0,则-x0,故f(-x)=x+1.又f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x).即f(x)=-x-1.选B.1.函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=-x+1,则当x0时,f(x)等于()(A)-x+1(B)-x-1(C)x+1(D)x-1B2.已知奇函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(x)f(1)的x的取值范围是()(A)(-∞,1)(B)(-∞,-1)(C)(0,1)(D)[-1,1)解析:由f(x)在区间[0,+∞)上递增及f(x)f(1)知x1.A3.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)等于()(A)-3(B)-1(C)1(D)3A解析:因为f(1)=-f(-1).又f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3.所以f(1)=-3.选A.4.设f(x)是R上的偶函数,且当x0时,f(x)=x2-x,则x0时,函数解析式为.解析:设x0,则-x0.因此f(-x)=(-x)2+x=x2+x.又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=x2+x.答案:f(x)=x2+x