2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1.2 函数的最大（小）值课件 新人

第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质第2课时函数的最大(小)值第1课时函数的单调性[目标]1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；2.会求一些简单函数的最大值或最小值．[重点]理解函数的最大(小)值的概念并会求一些简单函数的最大值或最小值．[难点]求函数的最大值或最小值.课时作业要点整合夯基础典例讲练破题型课堂达标练经典知识点函数的最大值和最小值[填一填]1．最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，；(2)存在x0∈I，使得.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，记作f(x)max＝M.都有f(x)≤Mf(x0)＝M2．最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：，就称N是函数y＝f(x)的最小值，记作f(x)min＝N.对于任意的x∈I，都有f(x)≥N；存在x0∈I，使得f(x0)＝N[答一答]1．函数f(x)＝－x2≤1总成立吗？f(x)的最大值是1吗？提示：f(x)＝－x2≤1总成立，但是不存在x0使f(x0)＝1，所以f(x)的最大值不是1，而是0.2．函数的最值与函数的值域有什么关系？提示：函数值域是指函数值的集合，函数最大(小)值一定是值域的元素．如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是闭区间两端点的值．3.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．f(－2)，0B．0,2C．f(－2)，2D．f(2)，2C类型一利用函数的图象求最值[例1]已知f(x)＝2|x－1|－3|x|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)根据函数图象求其最值．[解](1)当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；当0≤x1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；当x0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.所以y＝－x－2，x≥1，－5x＋2，0≤x1，x＋2，x0.结合上述解析式作出图象，如图所示．(2)由图象可以看出，当x＝0时，y取得最大值ymax＝2.函数没有最小值．利用图象求函数最值的方法：①画出函数y＝fx的图象；②观察图象，找出图象的最高点和最低点；③写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.[变式训练1]已知函数f(x)＝x2，－12≤x≤1，1x，1x≤2.求f(x)的最大值、最小值．解：如图所示，当－12≤x≤1时，由f(x)＝x2得f(x)最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝0；当1x≤2时，由f(x)＝1x得f(2)≤f(x)f(1)，即12≤f(x)1.综上f(x)max＝1，f(x)min＝0.类型二利用函数的单调性求最值[例2]已知函数f(x)＝x＋4x.(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性；(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值．[解](1)设x1，x2是区间[1,2]上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋4x1－4x2＝(x1－x2)1－4x1x2＝x1－x2x1x2－4x1x2.∵x1x2，∴x1－x20.当1≤x1x2≤2时，x1x20,1x1x24，即x1x2－40.∴f(x1)f(x2)，即f(x)在区间[1,2]上是减函数．(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)，f(2)＝2＋42＝4；f(x)的最大值为f(1)，f(1)＝1＋4＝5，∴f(x)的最小值为4，最大值为5.1运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法.首先判断函数的单调性，再利用单调性求出最值.2①注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析，②注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍.[变式训练2]求f(x)＝xx－1在区间[2,5]上的最值．解：任取2≤x1x2≤5，则f(x1)＝x1x1－1，f(x2)＝x2x2－1，f(x2)－f(x1)＝x2x2－1－x1x1－1＝x1－x2x2－1x1－1，∵2≤x1x2≤5，∴x1－x20，x2－10，x1－10，∴f(x2)－f(x1)0.∴f(x2)f(x1)．∴f(x)＝xx－1在区间[2,5]上是减函数．∴f(x)max＝f(2)＝22－1＝2，f(x)min＝f(5)＝55－1＝54.类型三二次函数的最值[例3]求函数f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．[解]f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1)当a0时，由图(1)可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(2)当0≤a1时，由图(2)可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2.f(x)max＝f(2)＝3－4a.(3)当1≤a≤2时，由图(3)可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.(4)当a2时，由图(4)可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.二次函数的最值问题，解题策略一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系，往往分三种情况：(1)定义域在对称轴左侧；(2)对称轴在定义域内；(3)定义域在对称轴右侧．在讨论时可结合函数图象，便于分析、理解．[变式训练3]已知f(x)＝3x2－12x＋5，当f(x)的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值．(1)[0,3]；(2)[－1,1]；(3)[3，＋∞)．解：作出f(x)＝3x2－12x＋5的图象如图所示，(1)由图可知，函数f(x)在[0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4.故在区间[0,3]上，当x＝2时，f(x)min＝－7；当x＝0时，f(x)max＝5.(2)由图可知，f(x)在[－1,1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝－4，f(x)max＝f(－1)＝20.(3)由图可知，f(x)在[3，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(3)＝－4.无最大值．1．函数f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3,3]的值域是()A．(－∞，5]B．[5，＋∞)C．[－20,5]D．[4,5]解析：∵f(x)＝－(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，函数有最大值5；当x＝3时，函数有最小值－20，故选C.C2．函数f(x)＝3x＋2在[－1,2]上的值域为()A.0，32B.34，32C.34，3D.34，3解析：∵f(x)＝3x＋2在[－1,2]上是减函数，∴f(2)≤f(x)≤f(－1)，又f(2)＝34，f(－1)＝3，∴34≤f(x)≤3，故选C.C3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2B．－2C．2或－2D．0解析：当a0时，y＝f(x)的最大值为f(2)＝2a＋1，最小值为f(1)＝a＋1，∴(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2.当a0时，y＝f(x)的最大值为f(1)＝a＋1，最小值为f(2)＝2a＋1，∴(a＋1)－(2a＋1)＝2.解得a＝－2，综述，a＝2或a＝－2，选C.C4．若函数f(x)＝2x＋6，x∈[1，2]，7－x，x∈[－4，1]，则f(x)的最大值为.解析：当x∈[1,2]时，f(x)为增函数，其最大值为f(2)＝10；当x∈[－4,1]时，f(x)为减函数，其最大值为f(－4)＝11.故函数f(x)的最大值为11.115．求函数f(x)＝x2－2ax＋a＋1(a0)在[－4,4]上的最大值．解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2＋1，当0a4时，f(x)在[－4，a]上是减函数，在[a,4]上是增函数．又f(－4)＝9a＋17，f(4)＝17－7a，f(－4)f(4)．所以f(x)的最大值为f(－4)＝9a＋17.当a≥4时，f(x)在[－4，4]上是减函数，所以，f(x)的最大值为f(－4)＝9a＋17.综上，在[－4,4]上函数的最大值为9a＋17.——本课须掌握的三大问题1．函数最值定义中两个条件缺一不可，若只有(1)，M不是最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是最大值了．最大(小)值的核心就是不等式f(x)≤M(或f(x)≥M)，故也不能只有(2)．2．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．3．二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．温示提馨请做：课时作业11PPT文稿（点击进入）学科素养培优精品微课堂复合函数单调性的判断开讲啦复合函数f(g(x))的单调性可简记为“同增异减”，即函数g(x)与函数f(x)的单调性相同时，y＝f(g(x))是增加的；单调性相反时，y＝f(g(x))是减少的．[典例]判断函数f(x)＝x2－1在定义域上的单调性．[分析]本题考查复合函数的单调性，首先分解成函数y＝u，u＝x2－1，只需判断y＝u与u＝x2－1在定义域上的单调性即可．[解]函数的定义域为x2－1≥0，即{x|x≤－1或x≥1}．将f(x)＝x2－1分解成两个简单函数y＝u，u＝x2－1的形式．当x∈[1，＋∞)时，u＝x2－1为增函数，y＝u为增函数，所以f(x)＝x2－1在[1，＋∞)上为增函数．当x∈(－∞，－1]时，u＝x2－1为减函数，y＝u为增函数，所以f(x)＝x2－1在(－∞，－1]上为减函数．综上所述，f(x)＝x2－1在(－∞，－1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数．[名师点评]复合函数单调性的判断方法(1)利用“同增异减”判断；(2)复合函数y＝f(g(x))的单调区间必须在定义域内，并且要确定函数g(x)的值域，否则就无法确定f(g(x))的单调性[特别是当f(g(x))的单调区间是由几个区间组成时]．[对应训练]已知函数f(x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，求f(1－x2)的递减区间．解：∵f(x)的定义域为[0，＋∞)．对于f(1－x2)，1－x2≥0，∴1－x2≥0，即x2≤1，故－1≤x≤1.令u＝1－x2，则f(1－x2)＝f(u)．当x∈[0,1]时，u＝1－x2是减函数，则f(1－x2)是增函数；当x∈[－1,0)时，u＝1－x2是增函数，则f(1－x2)是减函数．故f(1－x2)的递减区间为[－1,0)．