2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小）值 第二课时

第二课时函数的最大(小)值[目标导航]课标要求1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.2.会求一些简单函数的最大值或最小值.3.体会数形结合思想、分类讨论思想在求函数最值问题中的应用.素养达成通过利用函数的单调性求函数最值,培养学生逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养;通过数形结合求函数最值,培养学生直观想象的核心素养.新知导学·素养养成1.最大值(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)M;②存在x0∈I,使得.那么,称M是函数y=f(x)的最大值.(2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最点的坐标.思考1:若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?答案:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.≤f(x0)=M高纵2.最小值(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足;①对于任意的x∈I,都有f(x)M;②存在x0∈I,使得.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.(2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最点的坐标.思考2:已知函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调,如何求函数的最值?答案:如果函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调递增,则f(x)max=f(b),f(x)min=f(a);如果函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调递减,则f(x)max=f(a),f(x)min=f(b).≥f(x0)=M低纵思考3:函数的最大(小)值与函数值域有什么关系?答案:(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质,针对的是整个定义域.(2)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在.(3)若函数的最值存在,则一定是值域中的元素.名师点津关于函数最值的说明(1)最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素,如函数y=x2(x∈R)的最小值是0,有f(0)=0.(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立,也就是说,函数y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上(下)方.(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立,也就是说y=f(x)的图象与直线y=M至少有一个交点.课堂探究·素养提升题型一单调性法求函数最值[例1](12分)若函数f(x)=x-2x.(1)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数;规范解答:(1)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1x2.…………………………………1分则f(x1)-f(x2)=x1-12x-(x2-22x)=(x1-x2)-(12x-22x)=(x1-x2)-21122xxxx=(x1-x2)(1+122xx).………………………………………4分因为0x1x2,所以x1-x20,x1x20.所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).……6分所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.………………………………………………7分规范解答:(2)由(1)知f(x)在[1,4]上是增函数,………………………8分则函数f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)=-1,……………………………10分最大值为f(4)=4-24=72.…………………………………………………12分(2)求函数f(x)在[1,4]上的最值.方法技巧利用函数单调性求最值的步骤:①确定函数的单调性;②借助最值与单调性的关系写出函数的最值.即时训练1-1:(2019·湖南省衡阳市一中高一月考)已知函数f(x)=211xx.(1)判断函数f(x)在区间(-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;解:(1)f(x)在(-1,+∞)上单调递增,证明如下:任取-1x1x2,则f(x1)-f(x2)=11211xx-22211xx=121211xxxx.因为-1x1x2,所以x1+10,x2+10,x1-x20.所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),则函数f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增.解:(2)由(1)可知f(x)在区间[2,5]上单调递增,则f(x)min=f(2)=22121=53,f(x)max=25151=116.(2)求f(x)在区间[2,5]上的最值.解:(1)①设x1x2≥2,则f(x1)-f(x2)=21x+11x-22x-21x=(x1+x2)(x1-x2)+2112xxxx=(x1-x2)(x1+x2-121xx).因为x1x2≥2,所以x1-x20,x1+x24,121xx1,所以x1+x2-121xx0,所以f(x1)f(x2),所以f(x)在[2,+∞)上为增函数.[备用例1](1)已知函数f(x)=x2+1x.①判断f(x)在[2,+∞)上的单调性,并证明你的结论;解:②由①知f(x)在[3,5]上是增函数,故f(3)≤f(x)≤f(5).由f(3)=9+13=283,f(5)=25+15=1265知函数在[3,5]上的值域为[283,1265].②求函数f(x)在[3,5]上的值域.(2)利用你所学知识,判断函数f(x)=2x+1x在定义域上的单调性(不需证明),并求函数值域.解:(2)因为f(x)=2x+1x,所以x-1≥0,所以f(x)定义域为[1,+∞).(由y=2x,y=1x在[1,+∞)上均为增函数知)函数y=2x+1x在[1,+∞)上为增函数,所以f(x)≥f(1)=2,故函数值域为[2,+∞).(3)已知函数y=x+tx有如下性质:如果常数t0,那么该函数在(0,t]上是减函数,在[t,+∞)上是增函数.①若f(x)=x+ax(a1),函数在(0,a]上的最小值为4,求a的值;解:(3)①因为a1,所以函数f(x)在(0,a]上是减函数,在[a,a]上是增函数,所以函数在x=a处取得最小值,故f(a)=2a=4,解得a=4.②对于①中的函数在区间A上的值域是[4,5],求区间长度最大的A(注:区间长度=区间的右端点-区间的左端点);③若①中的函数的定义域是[2,+∞),解不等式f(a2-a)≥f(2a+4).解:②由①得f(x)=x+4x,又x=2时函数取得最小值4,令x+4x=5,则x2-5x+4=0,解得x=1或x=4,又2∈[1,4],故区间长度最大的A=[1,4].③由①知函数在[2,+∞)上单调递增,故原不等式等价于222,242,24,aaaaaa解得a≥4或a=-1,故不等式的解集为{a|a≥4或a=-1}.题型二分段函数的最值[例2]已知函数f(x)=2,11,1,1.xxxx求f(x)的最大值、最小值.解:作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(±1)=1.当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0,故f(x)的最大值为1,最小值为0.方法技巧(1)分段函数的最大(小)值是各段函数在其定义域上的最大(小)值中较大(小)的一个.(2)分段函数的最值问题,若函数在各段上均为单调函数,可根据函数单调性确定最值.若函数在各段上不具有单调性,可借助函数图象求最值.即时训练2-1:已知函数f(x)=|x|(x+1),试画出函数f(x)的图象,并根据图象解决下列两个问题.(1)写出函数f(x)的单调区间;解:f(x)=|x|(x+1)=22,0,,0xxxxxx的图象如图所示.(1)f(x)在(-∞,-12]和[0,+∞)上是增函数,在[-12,0]上是减函数,因此f(x)的单调递增区间为(-∞,-12],[0,+∞);单调递减区间为[-12,0].解:(2)因为f(-12)=14,f(12)=34,所以f(x)在区间[-1,12]上的最大值为34.(2)求函数f(x)在区间[-1,12]上的最大值.[备用例2]若函数f(x)=241,0,1,0,xxxxx求函数的值域.解:因为y=-x2+4x-1=-(x-2)2+3(x≥0)且y=x-1(x0),所以函数图象如图所示,因此函数值域为{y|y≤3}.题型三二次函数的最值[例3]已知f(x)=x2-4x+3,求函数f(x)在下列区间上的值域.(1)[-1,1];解:因为f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,所以函数f(x)在(-∞,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数.(1)因为x∈[-1,1],所以f(x)在[-1,1]上是减函数,又f(-1)=8,f(1)=0,所以函数f(x)在[-1,1]上的值域为[0,8].(2)[-2,3];解:(2)因为x∈[-2,3],且f(x)的对称轴方程是x=2,所以当x∈[-2,2]时,函数f(x)是减函数,此时函数的值域为{y|f(2)≤y≤f(-2)},即{y|-1≤y≤15}.当x∈[2,3]时,函数f(x)是增函数,此时函数的值域为{y|f(2)≤y≤f(3)},即{y|-1≤y≤0}.所以x∈[-2,3]时,函数的值域为{y|-1≤y≤15}.(3)[0,a].解:(3)因为f(x)的对称轴方程是x=2,所以当a≤2时,函数f(x)在[0,a]上是减函数,此时函数的值域为{y|f(a)≤y≤f(0)},即[a2-4a+3,3],当2a≤4时,函数在x=2处取最小值-1,最大值为f(0)=3,此时函数的值域为[-1,3].当a4时,函数在x=2处取得最小值,最大值为f(a),故函数的值域为[-1,a2-4a+3].一题多变:(1)求f(x)=x2-4x+3在[-2,7]和[3,7]上的值域;解:(1)由本例题(2)的解答知,x∈[-2,2]时,函数f(x)是减函数,当x∈[2,7]时,函数f(x)是增函数,且f(-2)=15,f(2)=-1,f(7)=24,所以x∈[-2,7]时,函数的值域为[-1,24].又因为x∈[3,7],所以f(x)在[3,7]上是增函数,因为f(3)=0,f(7)=24,所以函数的值域为[0,24].故当x∈[-2,7]时,函数值域为[-1,24],当x∈[3,7]时,函数值域为[0,24].(2)求函数f(x)=x2-4x+3在区间[t,t+1](t∈R)上的最大值g(t)与最小值h(t);解:(2)由f(x)=(x-2)2-1知,当t+1≤2时,即t≤1时,函数f(x)=x2-4x+3,在[t,t+1]上是减函数,最大值为g(t)=f(t)=t2-4t+3,最小值为h(t)=f(t+1)=(t-1)2-1=t2-2t,当t≥2时,函数f(x)=x2-4x+3在[t,t+1]上是增函数,最大值为g(t)=f(t+1)=t2-2t,最小值为h(t)=f(t)=t2-4t+3,当t2t+1,即1t2时,函数f(x)=x2-4x+3,在[t,t+1]上的最小值为h(t)=f(2)=-1.当1t2时,若t2≤212t,即32≤t2时,函数f(x)在[t,t+1]上的最大值为g(t)=f(t+1)=t2-2t.若1t32时,函数f(x)在[t,t+1]上的最大值为g(t)=f(t)=t2-4t+3.综上可知,函数f(x)=x2-4x+3在[t,t+1]上的最大值g(t)与最小值h(t)分别为g(t)=22343,,232,.2tttttth(t)=222,1,1,12,43,2.ttttttt解:(3)f(x)=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2,其图象开口向上,对称轴为x=a,①a-1时,f(x)在[-1,1]上单调递增,f(x)min=f(-1)=4+2a;②-1≤a≤1时,f(x)min=f(a)=3-a2,③a1时,f(x)在[-1,1]上单调递减,f(x)min=f(1)=4-2a,综上,f(x)min=242,1,3,11,42,