2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时

1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性目标定位重点难点1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法.2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点.重点：函数单调性的定义及求函数的单调区间.难点：用定义判断函数的单调性.1.定义域为I的函数f(x)的增减性2.函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是________________，就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格)的单调性，区间D叫做y＝f(x)的________.增函数或减函数单调区间1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有函数在定义域上都具有单调性.()(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈D”可以改为“存在x1，x2∈D”.()(3)若函数f(x)在实数集R上是增函数，则有f(1)f(4).()【答案】(1)×(2)×(3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f(x)＝－x＋1在区间(1,6)上是________函数(填“增”或“减”).(2)函数f(x)＝－x2的递增区间是________.【答案】(1)减(2)(－∞，0]3.思一思：如果在函数y＝f(x)中有f(1)f(2)，能否得到函数为增函数？【解析】不能，函数单调性的定义中任取x1，x2，当x1x2时，f(x1)f(x2)，则函数y＝f(x)为增函数，而1和2只是定义域上的两个特殊值，不能说明对任意的x1x2，都有f(x1)f(x2)，所以由f(1)f(2)得不到函数为增函数.函数单调性的证明与判断【例1】证明：函数y＝x＋9x在区间(0,3]上单调递减.【解题探究】取值→作差→变形→判断符号→得结论【证明】设0＜x1＜x2≤3，则有y1－y2＝x1＋9x1－x2＋9x2＝(x1－x2)－9x1－x2x1x2＝(x1－x2)1－9x1x2.∵0＜x1＜x2≤3，∴x1－x2＜0，9x1x2＞1，即1－9x1x2＜0.∴y1－y2＞0，即y1＞y2.∴函数y＝x＋9x在区间(0,3]上单调递减.【方法规律】1．利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2；(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性.2．证明抽象函数的单调性时，因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．1．已知函数f(x)对任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x0时，f(x)1．求证：函数f(x)在R上是增函数．【证明】方法一：设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1x2．令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x20．f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1．∵x0，∴f(x)1，f(x)－10．∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴函数f(x)在R上是增函数．方法二：设x1x2，则x1－x20，从而f(x1－x2)1，即f(x1－x2)－10．f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1f(x2)，故f(x)在R上是增函数．【例2】画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间.求函数的单调区间【解题探究】化简函数解析式→画出函数图象→确定单调区间【解析】y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x0，即y＝－x－12＋2，x≥0，－x＋12＋2，x0.函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞).【方法规律】1.作出函数的图象，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图象一定要画准确.2.函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域.3.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.2.作出函数f(x)＝－x－3，x≤1，x－22＋3，x＞1的图象，并指出函数的单调区间.【解析】f(x)＝－x－3，x≤1，x－22＋3，x1的图象如图所示.由图象可知函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞).【例3】已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围.函数单调性的应用【解题探究】对fx配方→确定fx的减区间→构造关于a的不等式→解出a的范围【解析】∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a].∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合.∴1－a≥4，解得a≤－3.故实数a的取值范围为[－∞，－3].【方法规律】1.二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便.2.已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法.3.已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)f(2a－1)，则实数a的取值范围为______.【答案】0，23【解析】由题意可知－11－a1，－12a－11，解得0a1.①又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)f(2a－1)，∴1－a2a－1，即a23.②由①②，可知0a23，即所求实数a的取值范围是0，23.【示例】若函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1的单调递减区间是(－∞，2]，则实数a的取值范围是________.对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念混淆致误【错解】函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－2a2，由于函数在区间(－∞，2]上单调递减，因此1－2a2≥2，即a≤－32.【错因】错解中把单调区间误认为是在区间上单调.【正解】因为函数的单调递减区间为(－∞，2]，且函数图象的对称轴为直线x＝1－2a2，所以有1－2a2＝2，即a＝－32.【警示】单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间.所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义.1.函数的单调区间必须是定义域的子集.因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域.2.确定函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)＝1x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)＝1x在定义域上是减函数.3.若x1x2，f(x1)f(x2)，则函数y＝f(x)是单调增函数；若x1x2，f(x1)f(x2)，则函数y＝f(x)是单调减函数，即若(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0(0)，则函数y＝f(x)是增(减)函数.1.下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有fx1－fx2x1－x20”的是()A．f(x)＝2xB．f(x)＝－3x＋1C．f(x)＝x2＋4x＋3D．f(x)＝x＋1x【答案】C【解析】fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，而f(x)＝2x及f(x)＝－3x＋1在区间(0，＋∞)上均为减函数，故A，B错误；f(x)＝x＋1x在区间(0,1)上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增，故D错误；f(x)＝x2＋4x＋3＝x2＋4x＋4－1＝(x＋2)2－1，所以f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递增，故只有C正确.2．函数y＝3x－1的单调减区间是()A．(－∞，1)，(1，＋∞)B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．{x∈R|x≠1}D．R【答案】A【解析】单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当．故选A．3.若函数f(x)在R上是减函数，则f(－1)________f(a2＋1)(填“”“”“≥”或“≤”).【答案】【解析】∵f(x)在R上是减函数，∴对任意x1，x2，若x1x2，均有f(x1)f(x2).∵－1a2＋1，∴f(－1)f(a2＋1).4.已知函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)f(－m＋9)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)【答案】C【解析】因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)f(－m＋9)，所以2m－m＋9，即m3.5.求证：函数y＝1x－1在区间(1，＋∞)上为单调减函数.【证明】任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x2，则y1－y2＝1x1－1－1x2－1＝x2－1－x1－1x1－1x2－1＝x2－x1x1－1x2－1.∵x2x11，∴x1－10，x2－10，x2－x10.∴x2－x1x1－1x2－10.∴y1y2.∴函数y＝1x－1在区间(1，＋∞)上为单调减函数.