2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法（第2课时）分段函数

第2课时分段函数第一章集合与函数概念考点学习目标核心素养分段函数求值理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值数学运算分段函数的图象能画出分段函数的图象，并会应用直观想象第一章集合与函数概念问题导学预习课本P21－23，思考以下问题：(1)什么是分段函数？(2)分段函数是一个函数，还是多个函数？(3)映射的定义是什么？(4)映射和函数有什么关系？1．分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．■名师点拨(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系．(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．2．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．■名师点拨在画每一段函数图象时，可以先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留其在该段定义区间内的相应图象即可，即“分段作图”．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分段函数由几个函数构成．()(2)函数f(x)＝1，x≥0，－1，x0是分段函数．()(3)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．()答案：(1)×(2)√(3)√下列给出的式子是分段函数的是()①f(x)＝x2＋1，1≤x≤5，2x，x1.②f(x)＝x＋1，x∈R，x2，x≥2.③f(x)＝2x＋3，1≤x≤5，x2，x≤1.④f(x)＝x2＋3，x0，x－1，x≥5.A．①②B．①④C．②④D．③④答案：B已知函数f(x)＝1x＋1，x－1，x－1，x1，则f(2)等于()A．0B.13C．1D．2解析：选C.f(2)＝2－1＝1.函数y＝x2，x0，－2，x0的定义域为______________，值域为______________．答案：(－∞，0)∪(0，＋∞){－2}∪(0，＋∞)(1)已知函数f(x)＝|x|x，则其定义域为()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)函数f(x)＝－x2＋1，0x1，0，x＝0，x2－1，－1x0的定义域为________，值域为________．分段函数的定义域、值域【解析】(1)要使f(x)有意义，需x≠0，故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由已知定义域为{x|0x1}∪{0}∪{x|－1x0}＝{x|－1x1}，即(－1，1)，又0x1时，0－x2＋11，－1x0时，－1x2－10，x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)．【答案】(1)D(2)(－1，1)(－1，1)(1)分段函数定义域、值域的求法①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；②分段函数的值域是各段函数值域的并集．(2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．已知函数f(x)＝x2，－1≤x≤1，1，x1或x－1，则函数的定义域为________，值域为________．解析：由已知定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R，又x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]．答案：R[0，1]已知函数f(x)＝x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2x2，2x－1，x≥2.试求f(－5)，f(－3)，ff－52的值．分段函数求值问题【解】由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－23.因为f－52＝－52＋1＝－32，－2－322，所以ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.(变设问)本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．解：①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，所以a＝2－2不合题意，舍去．②当－2a2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.所以(a－1)(a＋3)＝0，所以a＝1或a＝－3.因为1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)，所以a＝1符合题意．③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意．综合①②③知，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.(1)分段函数求函数值的方法①确定要求值的自变量属于哪一段区间；②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知函数值求字母取值的步骤①先对字母的取值范围分类讨论；②然后代入到不同的解析式中；③通过解方程求出字母的值；④检验所求的值是否在所讨论的区间内．1．已知函数f(x)＝x－2，x2，f（x－1），x≥2，则f(2)＝()A．－1B．0C．1D．2解析：选A.f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－2＝－1.2．已知f(x)＝x＋2，x≥－2，－x－2，x－2.若f(x)2，求x的取值范围．解：当x≥－2时，f(x)＝x＋2，由f(x)2，得x＋22，解得x0，故x0；当x－2时，f(x)＝－x－2，由f(x)2，得－x－22，解得x－4，故x－4.综上可得：x0或x－4.角度一分段函数图象的识别(2019·济南高一检测)函数y＝x2|x|的图象的大致形状是()分段函数的图象及应用【解析】因为y＝x2|x|＝x，x0，－x，x0，所以函数的图象为选项A.【答案】A角度二分段函数图象的画法分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域．(1)y＝1x，0x1，x，x≥1.(2)y＝3，x－2，－3x，－2≤x＜2，－3，x≥2.【解】各函数对应图象如图所示：由图象知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；(2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6]．角度三分段函数图象的应用某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题：(1)求y关于x的函数关系式；(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？【解】(1)当0≤x≤100时，设函数关系为y＝kx.将x＝100，y＝65代入，得k＝0.65，所以y＝0.65x.当x100时，设函数关系式为y＝ax＋b.将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入，得100a＋b＝65，130a＋b＝89.解得a＝0.8，b＝－15.所以y＝0.8x－15.综上可得y＝0.65x，0≤x≤100，0.8x－15，x100.(2)由(1)知收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元．(3)当x＝62时，y＝62×0.65＝40.3(元)；当y＝105时，因为0.65×100＝65105，故x100，所以105＝0.8x－15，x＝150.即若用户月用电62度时，则用户应交费40.3元；若用户月交费105元，则该用户该月用了150度电．分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．已知函数f(x)＝|x|－x2＋1(－2x≤2)．(1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数；(2)在坐标系中画出该函数的图象，并写出函数的值域．解：(1)①当0≤x≤2时，f(x)＝x－x2＋1＝1.②当－2x0时，f(x)＝－x－x2＋1＝－x＋1.故f(x)＝1，0≤x≤2，－x＋1，－2x0.(2)函数f(x)的图象如图所示：由图可知，函数f(x)的值域为[1，3)．1．函数f(x)＝2x2，0≤x≤1，2，1x2，3，x≥2的值域是()A．RB．[0，＋∞)C．[0，3]D．{x|0≤x≤2或x＝3}解析：选D.值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{x|0≤x≤2或x＝3}．2．已知函数y＝x2＋1，x≤0，－2x，x0，则使函数值为5的x的值是()A．－2B．2或－52C．2或－2D．2或－2或－52解析：选A.当x≤0时，x2＋1＝5，x＝－2.当x0时，－2x0，不合题意．3．函数y＝x＋|x|x的图象是()解析：选C.对于y＝x＋|x|x，当x0时，y＝x＋1；当x0时，y＝x－1.即y＝x＋1，x0，x－1，x0，故其图象应为C.4．已知函数f(x)＝x2－4，0≤x≤2，2x，x2.(1)求f(2)，f[f(2)]的值；(2)若f(x0)＝8，求x0的值．解：(1)因为0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，所以f(2)＝22－4＝0，f[f(2)]＝f(0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x0≤2时，由x20－4＝8，得x0＝±23(舍去)；当x02时，由2x0＝8，得x0＝4.所以x0＝4.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放