2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表

1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法目标定位重点难点1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.重点：函数解析式的求法及函数图象的画法.难点：求函数的解析式和图象的表示方法.1.函数的表示法(1)解析法：用___________表示两个变量之间的对应关系.(2)图象法：用______表示两个变量之间的对应关系.(3)列表法：列出______来表示两个变量之间的对应关系.数学表达式图象表格2.对三种表示法的说明(1)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域.(2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点.(3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性.1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用解析法表示.()(2)一个函数可以用不同的表示方法来表示.()(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线.()【答案】(1)×(2)√(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f(x)是一次函数，若f(1)＝1，f(2)＝2，则函数f(x)的解析式是________.(2)某教师将其1周课时节次列表如下：从这个表中看出这个函数的定义域是________，值域是________.【答案】(1)f(x)＝x(2){1,2,3,4,5}{2,4,5,3,1}X/星期12345Y/节次245313.思一思：根据函数的图象能够准确求出每一个自变量对应的函数值？【解析】不能，只能近似的求出函数值且误差较大.【例1】(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式；(2)已知一次函数y＝f(x)，f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(3).【解题探究】设出f(x)的解析式，带入已知条件列出方程或方程组，求出系数写出解析式待定系数法求函数的解析式【解析】(1)设反比例函数f(x)＝kx(k≠0)，则f(3)＝k3＝－6，解得k＝－18，故f(x)＝－18x.(2)设一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f(1)＝1，f(－1)＝－3，∴a＋b＝1，－a＋b＝－3，解得a＝2，b＝－1.∴f(x)＝2x－1.∴f(3)＝2×3－1＝5.【方法规律】待定系数法求函数解析式的步骤如下(1)设出所求函数含有待定系数的解析式，如一次函数解析式设为f(x)＝ax＋b(a≠0)，反比例函数解析式设为f(x)＝kx(k≠0)，二次函数解析式设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).(2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组.(3)解方程或方程组，得到待定系数的值.(4)将所求待定系数的值代回原式.1.已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次函数的解析式.【解析】设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得c＝1，a＋b＋c＝2，4a＋2b＋c＝5，解得a＝1，b＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋1.求函数的解析式【例2】根据条件，求函数解析式.(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(2)f(x)－2f1x＝3x＋2，求f(x).【解题探究】(1)把x＋1看作整体，换元或配凑；(2)把x与1x看作两个变量进行互换.【解析】(1)方法一：x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1).方法二：令t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1).(2)把原式中的x换为1x得f1x－2f(x)＝3x＋2，与原式联立，得fx－2f1x＝3x＋2，f1x－2fx＝3x＋2，解得f(x)＝－x－2x－2.【方法规律】对于形如f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，可采用配凑法或换元法：配凑法是将f[g(x)]右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式；换元法可令g(x)＝t，解出x，即用t表示x，然后代入f[g(x)]中即可求得f(t)，从而求得f(x).2.已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)＝________.【答案】x2－4x＋3【解析】方法一：(换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，可得f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.方法二：(配凑法)因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.【解题探究】解答本题可利用函数图象的作法，并结合函数定义域来分析、作图.函数图象的作法及应用【例3】作出下列函数的图象并求出其值域.(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2].【解析】(1)列表：x0121322y12345当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5].(2)列表：x2345…y1231225…当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0,1].(3)列表：x－2－1012y0－1038图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分.由图可得函数的值域是[－1,8].【方法规律】1.作函数图象的三个步骤1列表.先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值fx，用表格的形式表示出来.2描点.把第1步表格中的点x，fx一一在坐标平面上描出来.3连线.用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.2.函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质.3.作出下列函数图象并求其值域.(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x3).【解析】(1)因为x∈Z，所以图象为一直线上的孤立点(如图①)，由图象知，y∈Z.(2)因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图②)，由图象知，y∈[－5,3).【示例】已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式.【错解】∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4，∴f(x)＝x2－4.【错因】采用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后的自变量的取值范围.如本题中令t＝x2＋2后，则t≥2.因忽略函数的定义域而出错【正解】∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2).∴f(x)＝x2－4(x≥2).【警示】本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域.上面错误的解法，似乎是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数，但是f(x)＝x2－4的定义域不是全体实数.1.函数的三种表示法的优缺点比较比较优点缺点联系解析法变量关系特别明显，给定任意自变量可直接代入式子，好求值不形象、不直观，变化趋势难判断，有些函数无法使用解析、列表和图象三法各有优缺点，面对实际问题时根据需要恰当选择列表法不用计算只需看，任意给定变量值，表中查找很容易只能在数量不多时使用图象法很形象也很直观，变化趋势很明显近似表达对应值，误差较大2.作函数图象时应注意以下几点(1)在定义域内作图.(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.1．函数y＝x1＋x的大致图象是()【答案】A【解析】y＝x1＋x定义域为{x|x≠－1}，排除C，D；当x＝0时，y＝0，排除B．故选A．2．(2019年广东揭阳期中)若g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝1－x2x2，则f12的值为()A．15B．3C．115D．13【答案】A【解析】令1－2x＝12，则x＝14，∴f12＝1－142142＝15．3.某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数，则y与x的函数关系式为________.【答案】y＝2.5x，x∈N4.若函数f(x)对任意实数x，恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝__________.【答案】x＋1【解析】2f(x)－f(－x)＝3x＋1，①以－x换x，得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1.②由①②，得f(x)＝x＋1.5.已知f(x)＝x＋b，f(ax＋1)＝3x＋2，求a，b的值.【解析】由f(x)＝x＋b，得f(ax＋1)＝ax＋1＋B．∴ax＋1＋b＝3x＋2.∴a＝3，b＋1＝2，即a＝3，b＝1.