2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.3 集合的基本运算 第一课时 并集、

1.1.3集合的基本运算第一课时并集、交集[目标导航]课标要求1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.2.能利用直观图表示集合的并集与交集,体会直观图对理解抽象概念的作用.3.掌握有关术语和符号,并会用它们正确进行集合的并集与交集运算.素养达成1.通过对集合之间并集、交集的运算,及用集合语言、符号表示数学对象的过程,培养学生数学运算、数学抽象的核心素养.2.通过利用Venn图表示数学并集、交集运算的过程,培养学生的直观想象以及数学抽象的核心素养.新知导学·素养养成1.并集(1)并集的定义及表示或自然语言一般地,由所有属于集合A属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的,记作A∪B,读作“A并B”符号语言A∪B=.并集{x|x∈A或x∈B}图形语言说明:由上述五个图形可知,无论集合A,B是何种关系,A∪B恒有意义,图中阴影部分表示并集思考1:A∪B就是由集合A和集合B的所有元素组成吗?答案:不一定,由集合元素的互异性知集合A和集合B的公共元素只能出现一次.思考2:并集定义中的“或”与生活用语中的“或”含义相同吗?答案:并集的符号语言中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的,生活用语中的“或”是“或此”“或彼”,只取其一,并不兼存;而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”,可兼有.“x∈A或x∈B”包含三种情形:①x∈A且x∉B;②x∈B且x∉A;③x∈A且x∈B.(2)并集的运算性质性质说明A∪B=B∪A并集运算满足交换律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)并集运算满足结合律A∪A=A集合与本身的并集仍为集合本身A∪=∪A=A任何集合与空集的并集仍为集合本身如果A⊆B,则A∪B=B任何集合与它子集的并集都是它本身A⊆(A∪B),B⊆(A∪B)任何集合都是该集合与另一个集合的并集的子集2.交集(1)交集的定义及表示自然语言一般地,由属于集合A属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的,记作A∩B,读作“A交B”符号语言A∩B=.图形语言且交集{x|x∈A,且x∈B}(2)交集的运算性质性质说明A∩B=B∩A交集运算满足交换律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)交集运算满足结合律A∩A=A任何集合与其本身的交集仍为集合本身A∩=∩A=空集与任何集合的交集都为空集如果A⊆B,则A∩B=A(反之也成立)任何集合同它子集的交集等于这个集合的子集(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B两个集合的交集是其中任一集合的子集思考3:若A∩B=,则A,B是否均为空集?若A∪B=呢?答案:不一定,当A∩B=时,A,B可以为,也可以不为,如A={1,2},B={3,4},则A∩B=;当A∪B=时,则A=B=.名师点津(1)AB⇒A∪B=B,BA⇒A∪B=A.(2)A=B⇒A∪B=A(或A∪B=B),A∩B=A(或A∩B=B).(3)集合元素个数的计算方法若用card(A)表示集合A中的元素个数,则有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).事实上,由图(1)可知,A∩B的元素个数,在card(A)和card(B)中均计数一次,在card(A)+card(B)中计数两次,而在card(A∪B)中只能计数一次,从而有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).类似地,有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).它可由图(2)来解释.课堂探究·素养提升题型一集合的并集、交集的简单运算[例1](1)若集合A={x|x2-2x-15=0},B={x|x2+x-6=0},求A∩B,A∪B;解:(1)因为A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},B={x|x2+x-6=0}={-3,2}.所以A∩B={-3},A∪B={-3,2,5}.(2)已知A={x|x≤-2,或x5},B={x|1x≤7},求A∪B,A∩B.解:(2)将x≤-2或x5及1x≤7在数轴上表示出来,据并集的定义,图中所有阴影部分即为A∪B,所以A∪B={x|x≤-2,或x1}.据交集定义,图中公共阴影部分即为A∩B,所以A∩B={x|5x≤7}.方法技巧求两集合的并集、交集的方法(1)求两集合的并集、交集首先明确集合中的元素,若集合不是最简形式,需先化简集合,如本例中(1);(2)若是用列举法表示的数集,可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果;(3)若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果,此时要注意当端点不在集合中时,应用“空心圈”表示.即时训练1-1:(1)集合A={0,2,a},B={1,a2}.若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为()(A)0(B)1(C)2(D)4(2)已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B等于()(A){1,3}(B){1,2}(C){2,3}(D){1,2,3}解析:(1)因为A∪B={0,1,2,a,a2},又A∪B={0,1,2,4,16},所以{a,a2}={4,16},所以a=4.故选D.(2)A∩B={1,2,3}∩{y|y=2x-1,x∈A}={1,2,3}∩{1,3,5}={1,3}.故选A.[备用例1](1)已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N为()(A)x=3,y=-1(B)(3,-1)(C){3,-1}(D){(3,-1)}解析:(1)集合M,N中的元素是平面上的点,M∩N是集合,并且其中元素也是点,解2,4xyxy得3,1.xy选D.(2)已知M={x|y=x2-1},N={y|y=x2-1},那么M∩N等于()(A){y|y=-1或0}(B){x|x=0或1}(C){(0,-1),(1,0)}(D){y|y≥-1}(3)设集合A={x|x+20},B={x|x-10},C={x|x+20},D={x|x-10},E={x|-2x1},则下列结论正确的是()(A)E=A∩B(B)E=A∩D(C)E=B∩C(D)E=B∪C解析:(2)因为M={x|y=x2-1}=R,N={y|y=x2-1}={y|y≥-1}所以M∩N=N={y|y≥-1}.选D.(3)因为A={x|x-2},B={x|x1},C={x|x-2},D={x|x1},所以A∩B={x|x1},A∩D={x|-2x1},B∩C=,B∪C={x|x-2或x1}.故E=A∩D.故选B.解析:(4)由题意得A={0,1},B={1,2},结合各选项知B正确.选B.(4)(2018·四川省遂宁市高一上学期期末)已知集合A={x|x2-x=0},集合B={x∈N+|-1≤x3},则下列结论正确的是()(A)1⊆(A∩B)(B)1∈(A∩B)(C)A∩B=(D)A∪B=B(5)已知A={x|-1x≤3},B={x︱x≤0或x≥52},求A∩B,A∪B.(5)解:A={x|-1x≤3},B=(x︱x≤0或x≥52).把集合A与B都表示在数轴上,如图.所以A∩B={x|-1x≤3}∩{x|x≤0或x≥52}={x︱-1x≤0或52≤x≤3};A∪B={x|-1x≤3}∪{x︱x≤0或x≥52}=R.题型二含参数的交集、并集运算[例2](1)已知集合S={x|x4或x-2},集合T={x|a-1xa+7},若S∪T=R,求a的取值范围;解:(1)S={x|x4或x-2},T={x|a-1xa+7},如图所示.要使S∪T=R,只需74,12,aa＞＜即-3a-1.故a的取值范围为{a|-3a-1}.(2)已知集合A={x|a-2x2a},B={x|-1x0}.若A∩B=,求实数a的取值范围.解:(2)当A=时,a-2≥2a即a≤-2,此时A∩B=.当A≠时,要使A∩B=,如图,22,21aaa＜或22,20.aaa＜解得-2a≤-12或a≥2.综上所述,a的取值范围是{a︱a≤-2或-2a≤-12或a≥2}即{a︱a≤-12或a≥2}.一题多变1:将本题(1)S变为S={x|x≥4或x≤-2},其他条件不变,求a的取值范围.解:如图,要使S∪T=R,则只需74,12,aa即-3≤a≤-1.故a的取值范围为{a|-3≤a≤-1}.一题多变2:本题(2)中,将集合A变为A={x|a-2≤x≤2a},其他条件不变,求a的范围.解:当A=时,a-22a,则a-2,满足A∩B=.当A≠时,要使A∩B=,只需22,21aaa或22,20.aaa解得-2≤a≤-12或a≥2.综上所述,a的取值范围是{a︱a≤-12或a≥2}.解:要使A∩B≠,则只需22,21,20aaaa＜＞＜解得-12a2.故a的取值范围为{a︱-12a2}.一题多变3:本题(2)中,将A∩B=改为A∩B≠,其他条件不变,求a的取值范围.方法技巧求解含参数的连续数集之间的交、并集运算,应根据运算特征,利用数轴的直观性求解,求解此类问题时,应注意端点值的取舍.[备用例2](1)已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-px-2q=0},且A∩B={-1},求A∪B.解:(1)因为A∩B={-1},所以-1∈A,-1∈B,所以1-p+q=0,1+p-2q=0,解得p=3,q=2,所以A={x|x2+3x+2=0}={-1,-2},B={x|x2-3x-4=0}={-1,4},所以A∪B={-1,-2,4}.(2)已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求满足下列条件的a的值.①9∈(A∩B);②{9}=A∩B.解:(2)①因为9∈(A∩B),所以9∈B且9∈A,所以2a-1=9或a2=9,所以a=5或a=±3.检验知a=5或a=-3.②因为{9}=A∩B,所以9∈(A∩B),所以a=5或a=-3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},此时A∩B={-4,9},与A∩B={9}矛盾,故舍去;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},A∩B={9},满足题意.综上可知a=-3.(3)设集合A={x|-1xa},集合B={x|1x3},且A∪B={x|-1x3},求a的取值范围.解:(3)如图所示,设想集合A所表示的范围在数轴上移动,由A∪B={x|-1x3}知,当且仅当集合A覆盖住{x|-1x≤1}的部分,才能使A∪B={x|-1x3},因此A的右端点应介于1和3之间,且1处不能取等号,否则不含元素1,所以1a≤3.题型三并集、交集运算性质的应用规范解答:因为A={1,2},A∪B=A,所以B⊆A,……………………2分所以B=或B={1}或B={2}或B={1,2}.…………4分由于Δ=a2-4(a-1)=(a-2)2≥0,故B=不成立.………5分当B={1}时,0,110,aa所以a=2.………………7分[例3]已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},若A∪B=A,求实数a的值.当B={2}时,0,4210,aa所以a不存在.………………………………9分当B={1,2}时,12,121,aa所以a=3.…………………………………11分综上所述,a=2或a=3.…………………………12分一题多变1:若本例题中将A∪B=A,改为A∩B=B,其他条件不变,求实数a的值.解:当A∩B=B时,则B⊆A,解题过程同本例的过程(此处略).一题多变2:若本例题中将A∪B=A,改为A∩B=A,其他条件不变,求实数a的值.解:因为A={1,2},A∩B=A,所以A⊆B.又B={