2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.3 集合的基本运算 第1课时 并集、

1.1集合1.1.3集合的基本运算第1课时并集、交集目标定位重点难点1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题.重点：理解交集与并集的概念.难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系.1.并集和交集的概念及其表示类别自然语言符号语言图形语言并集由________集合A或者____集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作______(读作“______”)A∪B＝___________所有属于属于A∪BA并B{x|x∈A或x∈B}类别自然语言符号语言图形语言交集由____集合A______集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作______(读作“______”)A∩B＝________________________属于且属于A∩BA交B{x|x∈A，且x∈B}2.并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝____A∩A＝____A∪∅＝____A∩∅＝____A⊆B⇔A∪B＝BA⊆B⇔A∩B＝AAAA∅1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合M＝{正方形}与集合N＝{长方形}无交集.()(2)两个集合的并集中的元素个数一定比两个集合元素个数之和大.()(3)若A∩B＝C∩B，则A＝C．()【答案】(1)×(2)×(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知集合M＝{1,3}，N＝{2,3,4}，则M∪N＝________.(2)集合M＝{x|x1}，N＝{x|x≤6}，则M∩N＝________.【答案】(1){1,2,3,4}(2){x|1x≤6}3.思一思：两个非空集合的交集一定是非空集合吗？【解析】两个非空集合的交集可能是空集，也可能是非空集合.【例1】(1)若A＝{－1,1,3}，B＝{－2,1,2,3}，求A∪B．(2)设A＝{x|－1x2}，B＝{x|1x3}，求A∪B．【解题探究】(1)由并集的定义求解.(2)结合数轴求解.集合并集的运算【解析】(1)A∪B＝{－2，－1,1,2,3}.(2)如图.A∪B＝{x|－1x2}∪{x|1x3}＝{x|－1x3}.【方法规律】解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，同时求并集时要弄清楚集合中的元素是点还是数.1．已知集合A＝{(x，y)|x＝2}，集合B＝{(x，y)|y＝2}，求A∪B，并说明其几何意义．【解析】A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合．【解析】从A∪B＝{1,4，x}看它与集合A，B元素之间的关系，可以发现A∪B＝A，从而B是A的子集，则x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或1或0.当x＝±2时，符合题意；当x＝1时，与集合元素的互异性相矛盾(舍去)；当x＝0时，符合题意.因此，x＝±2或0.【例2】(1)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N＝()A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{1}D．{0}(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－1或x4}，则集合A∩B等于()A．{x|x≤3或x4}B．{x|－1x≤3}C．{x|3≤x4}D．{x|－2≤x－1}(3)已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝________.集合交集的运算【答案】(1)B(2)D(3){(1,2)}【解题探究】(1)先求出集合N中的元素再求M，N的交集.(3)集合A和B的元素是有序实数对(x，y)，A，B的交集即为方程组4x＋y＝6，3x＋2y＝7的解集.【解析】(1)N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}.故选B．(2)将集合A，B表示在数轴上，由数轴可得A∩B＝{x|－2≤x－1}，故选D．(3)A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}＝x，y4x＋y＝6，3x＋2y＝7＝{(1,2)}.【方法规律】求交集运算应关注两点：(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合.(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性.2.已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值.【解析】∵M∩N＝{3}，∴3∈M.∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾；当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意.∴a＝4.【例3】已知A＝{x|ax≤a＋8}，B＝{x|x－1或x5}.若A∪B＝R，求实数a的取值范围.【解题探究】A∪B＝R可知A∪B包含了所有的实数，体现在数轴上则A∪B可将整个数轴覆盖.由此知a－1且a＋8≥5.已知集合的交集、并集求参数【解析】在数轴上标出集合A，B，如图.要使A∪B＝R，则a＋8≥5，a－1，解得－3≤a－1.综上，实数a的取值范围为－3≤a－1.【方法规律】并集、交集的性质应用技巧：对于涉及集合运算的问题，可利用集合运算的等价性即若A∪B＝A，则B⊆A，反之也成立；若A∩B＝B，则B⊆A，反之也成立，转化为相关集合之间的关系求解.3.已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围.【解析】由A∩B＝∅，(1)若A＝∅，有2a＞a＋3，∴a＞3.(2)若A≠∅，如图.∴2a≥－1，a＋3≤5，2a≤a＋3，解得－12≤a≤2.综上，实数a的取值范围是a－12≤a≤2或a＞3.【示例】已知集合M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10，3}，M∩N＝{2,3}，求a的值．【错解】∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，解得a＝1或2．【错因】解出字母后，没有对原集合进行检验．含字母的集合运算忽视检验【正解】∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，解得a＝1或2．当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}，不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}，符合题意．综上所述，a＝2．【警示】本例中的M∩N＝{2,3}有两层含义：①2,3是集合M，N的元素；②集合M，N只有这两个公共元素．因此解出字母后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．1.对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B．因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合.(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2.集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.1．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是()A．N⊆MB．M∪N＝MC．M∩N＝ND．M∩N＝{2}【答案】D【解析】∵－2∈N，但－2∉M，∴A，B，C三个选项均不对．2.已知集合S＝{(x，y)|y＝1，x∈R}，T＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，则S∩T＝()A．∅B．{1}C．(1,1)D．{(1,1)}【答案】D【解析】集合S表示直线y＝1上的点，集合T表示直线x＝1上的点，S∩T表示直线y＝1与直线x＝1的交点，故选D．3.若集合A＝{x|－2x5}，B＝{x|x≤－1或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.【答案】R{x|4≤x5或－2＜x≤－1}【解析】借助数轴可知A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x5或－2＜x≤－1}.4.已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________.【答案】a≤1【解析】因为A∪B＝R，画出数轴(图略)可知表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a≤1.5.设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B．【解析】由集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，得7∈A,7∈B，且－1∈B，∴在集合A中，x2－x＋1＝7，解得x＝－2或3.当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2，又2∈A，故2∈A∩B＝C，但2∉C，故x＝－2不合题意，舍去.当x＝3时，在集合B中，x＋4＝7.故有2y＝－1，解得y＝－12，经检验满足A∩B＝C．综上，x＝3，y＝－12.此时，A＝{2，－1,7}，B＝{－1，－4,7}，故A∪B＝{－4，－1,2,7}.