2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.1 集合的含义与表示 第二课时 集合

第二课时集合的表示[目标导航]课标要求1.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法).2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法和描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.素养达成通过对集合表示方法的学习,使学生在运用集合表示方法的过程中,提高数学抽象、逻辑运算的核心素养.新知导学·素养养成1.列举法列举法:把集合的元素出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法.一一列举思考1:用列举法表示集合应注意什么?答案:在用列举法表示集合时应注意:(1)元素间用分隔号“,”;(2)元素不重复;(3)元素无顺序;(4)列举法可表示有限集,也可以表示无限集.2.描述法用集合所含元素的表示集合的方法.共同特征思考2:我们知道,R表示全体实数集合,那么R={全体实数集}={R}={x|x∈R}是否正确?答案:不正确,由于R表示全体实数构成的集合,而“{}”这个符号已经含有“所有”的含义了,如果将全体实数集表示为{全体实数集}就是重复表述,应改为{实数},而{R}表示只含有实数集的集合,它也可以理解为该集合只有一个元素;因此R≠{R}.而{x|x∈R}表示全体实数构成的集合,因此R={x|x∈R},但表述不如R简单,因此表示实数集时常用R而不用{x|x∈R}.思考3:集合A={x|x2}与B={t|t2}是否表示同一个集合?答案:是.虽然表示代表元素的字母不同,但都表示由大于2的所有实数组成的集合,因而表示同一个集合.思考4:用描述法表示集合应注意什么?答案:用描述法表示集合时应注意的四点(1)写清楚该集合中元素的代号;(2)说明该集合中元素的性质;(3)所有描述的内容都可写在集合符号内;(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中,“x”是集合中元素的代表形式,I是x的范围,“p(x)”是集合中元素x的共同特征,竖线不可省略,也不能出现未被说明的字母.名师点津集合两种表示方法的区别与联系:由于集合的两种常用表示法中列举法可以看清集合的元素,描述法可以看清集合元素的特征.因此在表示集合时,要依据对象的特点或个数的多少采用适当的形式,当集合中元素个数较少或集合中元素呈现一定的规律性时,一般采用列举法;当集合中元素的共同特征简明清晰且易于表述时,常采用描述法.大多数集合既可用列举法表示,也可用描述法表示,两种方法可用表格对比如下:表示方法定义表达形式适用对象表现重点特点列举法把集合中的所有元素一一列举出来,并置于花括号“{}”内的方法如{1,2,3,4,5}①元素个数不多;②元素个数多但有规律集合外延直观、明了描述法用集合中元素的共同特征表示集合的方法{x|p(x)}元素的特征清晰集合内涵抽象、概括从表格可以看出,变换表示集合的两种方法时重点在于对元素特征的提炼及具体元素的寻找.课堂探究·素养提升题型一列举法表示集合的理解[例1]用列举法表示下列集合:(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}.(3)不等式5x-33x+7的解集中的正整数组成的集合;(4)两边分别在坐标轴的负半轴上,且边长为1的正方形的顶点构成的集合.解:(3)不等式5x-33x+7的解为x5.其中正整数为1,2,3,4,所以不等式的解集中的正整数组成的集合C={1,2,3,4}.(4)因为正方形的两边在坐标轴的负半轴上,所以正方形的四个顶点分别为(0,0),(0,-1),(-1,0),(-1,-1),故正方形的顶点的集合D={(0,0),(0,-1),(-1,0),(-1,-1)}.方法技巧(1)使用列举法表示集合时,首先要根据集合中元素的特征求出集合中的元素,然后将元素一一列举出来(注意,相同元素只出现一次),然后用花括号“{}”括起来.(2)使用列举法表示集合时,要注意集合中元素的形式,如本题中的(2)中集合中的元素是数,而(4)中集合的元素则是点.解:(1)因为x∈N,y∈N,且x+y=3,所以0,3xy或1,2xy或2,1xy或3,0.xy故集合A={(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}.即时训练1-1:用列举法表示下列集合.(1)若x∈N,y∈N,则直线x+y=3上的点构成的集合A;(2)方程(x+1)(x2-49)=0的解构成的集合B;(2)因为方程(x+1)(x2-49)=0的解是x=-1或x=-7或x=7,所以集合B={-7,-1,7}.(3)一次函数y=x+1与y=-x+3的交点构成的集合C;(4)x2-4的一次因式组成的集合.(4)因为x2-4=(x+2)(x-2),所以集合D={x+2,x-2}.解:(3)由1,3yxyx知1,2.xy故集合C={(1,2)}.题型二描述法表示集合的理解[例2]用描述法表示下列集合:(1)正偶数集;(2)被3除余2的正整数组成的集合;解:(1)偶数可用式子x=2n,n∈Z表示,但此题要求为正偶数,故限定n∈N*,所以正偶数集合可表示为{x|x=2n,n∈N*}.(2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但元素为正整数,故x=3n+2,n∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}.(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合;(4)一次函数y=2x+1图象上所有点的纵坐标构成的集合.解:(3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.(4)一次函数y=2x+1图象上点的坐标为(x,y),而图象上所有点的纵坐标为y,因此一次函数y=2x+1图象上所有点的纵坐标构成的集合为{y|y=2x+1}.一题多变:(1)写出所有大于4的偶数组成的集合;(2)写出所有被3除余2的偶数组成的集合;(3)写出坐标平面内第一象限点的集合以及y轴右侧的点的集合;解:(1)所有大于4的偶数构成的集合为A={x|x=2n,n∈Z且n2}.(2)所有被3除余2的偶数构成的集合B={x|x=3n+2,n为偶数}或B={x|x=3n+2,n=2k,k∈Z}.(3)坐标平面内第一象限点的集合为C1={(x,y)|x0,y0};y轴右侧点的集合为C2={(x,y)|x0}.(4)分别写出一次函数y=2x+1图象上所有点的横坐标、图象上所有点的坐标、图象上去掉点(1,3),(5,11)后的点构成的集合”.解:(4)一次函数y=2x+1图象上所有点的横坐标构成的集合为D1={x|y=2x+1};一次函数y=2x+1的图象上所有点构成的集合D2={(x,y)|y=2x+1};一次函数y=2x+1图象上去掉点(1,3),(5,11)后的点构成的集合D3={(x,y)|y=2x+1,x≠1且x≠5}.方法技巧用描述法表示集合时首先要明确集合的代表元素是数集、点集还是其他元素,明确集合中元素的形式后,再将集合中所有元素的公共特征写在竖线的右边.[备用例1]用描述法表示下列集合.(1)三角形的全体构成的集合;(2)不等式2x-35的解组成的集合;(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合;(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合.解:(1){x|x是三角形}.(2)不等式2x-35的解组成的集合可表示为{x|2x-35},即{x|x4}.(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为{(x,y)|-1≤x≤32,-12≤y≤1,xy≥0}.(4)3和4的最小公倍数是12,因此3和4的正的最小公倍数构成的集合是{x|x=12n,n∈N*}.题型三集合表示方法的应用[例3](10分)试用列举法表示下列集合.(1)M={x︱101x∈Z,x∈Z};规范解答:(1)由101x∈Z,且x∈Z,知x+1是10的约数,……………2分故|x+1|=1或2或5或10,从而x的值为-11,-6,-3,-2,0,1,4,9.……………………………4分故M={-11,-6,-3,-2,0,1,4,9}.………………………………………5分(2)N={84x∈N︱x∈N}.规范解答:(2)由84x∈N知4-x是8的正约数,且满足x∈N.……7分故4-x=1或2或4,因此84x=2或4或8.…………………………9分所以N={2,4,8}.……………………………………………………10分方法技巧本题所给两个集合虽然形式上有相似之处,但由于代表元素的不同,集合M是求x的值,而集合N是在x∈N的限制之下,求8的正约数构成的集合.另外,将用描述法表示的集合用列举法表示时,要注意集合中代表元素为数集时的限制,如本题中,要注意x∈Z与x∈N的不同.即时训练3-1:有下面六种表示方法①{x=-1,y=8};②{(x,y)︱1,8xy};③{-1,8};④(-1,8);⑤{(-1,8)};⑥{x,y|x=-1,或y=8}.其中,能正确表示方程组26,90xyxy的解集的是(把所有正确答案的序号填在空格上).解析:序号判断原因分析①否①中含两个元素,且都是式子,而方程组的解集中只有一个元素,是一个点②能②代表元素是点的形式,且对应值与方程组解相同③否③中含两个元素,是数集,而方程组的解集是点集,且只有一个元素④否④没有用花括号“{}”括起来,不表示集合⑤能⑤中只含有一个元素,是点集且与方程组解对应相等⑥否⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符,须加小括号(),条件中“或”也要改为“且”答案:②⑤[备用例2]用适当的方法表示下列集合.(1)使y=2112xx有意义的实数x的集合A;解:(1)由x2+x-12≠0得x≠-4且x≠3,故使y=2112xx有意义的实数x的集合用描述法表示为{x|x∈R,x≠-4且x≠3}.(2)自然数的平方组成的集合;(3)一个数的平方等于其本身构成的集合.解:(2)自然数的平方用列举法表示为{0,12,22,32,…},也可以用描述法表示为{x|x=n2,n∈N}.(3)一个数的平方等于其本身用描述法表示为{x|x2=x},也可以用列举法表示为{0,1}.题型四易错辨析[例4]集合A={x|mx2-4x+2=0}中只有一个元素,则实数m的值为()(A)0(B)1(C)2(D)0或2错解:因为集合A={x|mx2-4x+2=0}中只有一个元素,所以方程mx2-4x+2=0只有一个根,所以Δ=16-8m=0,所以m=2.故选C.纠错:由于方程mx2-4x+2=0不一定是二次方程,因此要对m的取值进行讨论.正解:当m=0时,由-4x+2=0,得x=12,符合题意;当m≠0时,由方程mx2-4x+2=0只有一个根,得Δ=16-8m=0,得m=2.故m=0或2,故选D.学霸经验分享区(1)集合表示的要求:①根据要表示的集合元素的特点,选择适当方法表示集合,一般要符合最简原则;②一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法表示,描述法既可以表示元素个数无限的集合,也可以表示元素个数有限的集合.(2)在用描述法表示集合时应注意:①弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式;②元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑.如P={x|y=x+1},Q={y|y=3x},虽然两集合代表元素与元素属性不相同,但两集合都表示R.课堂达标C1.下列语句:①0与{0}表示同一个集合;②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};③方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|4x5}可以用列举法表示.正确的是()(A)只有①和④(B)只有②和③(C)只有②(D)以上语句都不对解析:①错误,③由集合中元素的互异性知错误,④集合是无限集,不能列举,故错误,只有