2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用章末归纳整合课件 新人教A版选修2-2

章末归纳整合【知识构建】【思想方法专题】专题一应用导数解决与切线相关的问题根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而可以应用导数解决一些与切线相关的问题．【例1】点P(2,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，两条曲线在点P处有相同的切线，求a，b，c的值．解：因为点P(2,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，所以23＋2a＝0，①4b＋c＝0.②由①得a＝－4，所以f(x)＝x3－4x.又因为两条曲线在点P处有相同的切线，所以f′(2)＝g′(2)．而由f′(x)＝3x2－4得到f′(2)＝8，由g′(x)＝2bx得到g′(2)＝4b.所以8＝4b，即b＝2.代入②得到c＝－8.综上所述，a＝－4，b＝2，c＝－8.方法点评：有三个未知数，要列三个方程来求，由点P是两曲线的公共点可列出两个方程，由两条曲线在点P处有相同的切线得到两函数在点P处的导数相等再列一个方程，联立三个方程就可以求出a，b，c的值．1．(2016年北京)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．【解析】(1)∵y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4，∴f(2)＝2(e－1)＋4＝2e＋2，f′(2)＝e－1.∵f(x)＝xea－x＋bx，∴f′(x)＝ea－x－xea－x＋b.∴f2＝2ea－2＋2b＝2e＋2，f′2＝ea－2－2ea－2＋b＝e－1，解得a＝2，b＝e.(2)∵a＝2，b＝e，∴f(x)＝xe2－x＋ex，f′(x)＝e2－x－xe2－x＋e＝(1－x)e2－x＋e.设g(x)＝f′(x)＝(1－x)e2－x＋e，则g′(x)＝－e2－x－(1－x)e2－x＝(x－2)e2－x.当x2时，g′(x)0，g(x)单调递减；当x2时，g′(x)0，g(x)单调递增．∴当x＝2时，g(x)取得最小值g(2)＝(1－2)e2－2＋e＝e－1＞0.∴f′(x)＞0恒成立．∴函数f(x)是增函数，即f(x)的单调增区间是(－∞，＋∞)．专题二导数与函数、不等式的综合应用近几年高考中函数与导数的解答题常以x与ex，lnx组合的函数为基础来命制，将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)，着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查．【例2】(2019年广东广州模拟)设函数f(x)＝a＋lnxx，曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线e2x－y＋e＝0垂直．（1）若f(x)在(m，m＋1)上存在极值，求实数m的取值范围；（2）求证：当x1时，fxe＋12ex－1x＋1xex＋1.解：（1）∵f′(x)＝1－a－lnxx2，∴y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线斜率为－ae2.又切线与直线e2x－y＋e＝0垂直，可得f′(e)＝－1e2.∴－ae2＝－1e2，解得a＝1.∴f(x)＝1＋lnxx，f′(x)＝－lnxx2(x0).当0x1时，f′(x)0，f(x)为增函数；当x1时，f′(x)0，f(x)为减函数.∴x＝1是f(x)的极大值点．又f(x)在(m，m＋1)上存在极值，∴m1m＋1，即0m1.∴实数m的取值范围是(0,1)．（2）由fxe＋12ex－1x＋1xex＋1，得1e＋1·x＋1lnx＋1x2ex－1xex＋1.令g(x)＝x＋1lnx＋1x，h(x)＝2ex－1xex＋1，则g′(x)＝x－lnxx2.令φ(x)＝x－lnx，则φ′(x)＝1－1x＝x－1x.∵x1，∴φ′(x)0.∴φ(x)在(1，＋∞)上是增函数，故φ(x)φ(1)＝10.∴g′(x)0，则g(x)在(1，＋∞)上是增函数.∴x1时，g(x)g(1)＝2，故gxe＋12e＋1.又h′(x)＝2ex－11－exxex＋12，x1，∴1－ex0，∴h′(x)0.∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴x1时，h(x)h(1)＝2e＋1.综上，gxe＋1h(x)，即fxe＋12ex－1x＋1xex＋1.方法点评：所证不等式中同时含有ex与lnx，结构复杂，可考虑构造新函数g(x)，h(x)，通过求导，利用其单调性进行证明．若不分离ex与lnx，则难以求导.因此，对于形式复杂的函数，往往需要合理分拆与变形．高考为体现选拔功能，区分不同层次的学生，一般在压轴题中不会单一考查某一初等函数，而是将不同函数综合在一起考查，这就需要我们把已经糅合在一起的函数进行分离，转化为熟悉的利于用导数工具求解的函数．2．(2017年新课标Ⅲ)已知函数f(x)＝x－1－alnx.(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，1＋121＋122…1＋12n＜m，求m的最小值．【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．①若a≤0，f12＝－12＋aln2＜0，不满足题意；②若a＞0，f′(x)＝1－ax＝x－ax.当0＜x＜a时，f′(x)＜0；当x＞a时，f′(x)＞0.∴f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增，∴x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值点．∵f(1)＝0，∴当且仅当a＝1时，f(x)≥0，∴a＝1.(2)由(1)知当x∈(1，＋∞)时，x－1－alnx＞0.令x＝1＋12n，得ln1＋12n＜12n，∴ln1＋12＋ln1＋122＋…＋ln1＋12n＜12＋122＋…＋12n＝1－12n＜1.∴1＋121＋122…1＋12n＜e.而1＋121＋1221＋123＞2，∴m的最小值为3.【例3】(2018年北京高二期末)已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间和极大值；(3)求证：对任意x1，x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|4恒成立．解：(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d.∴d＝－d，解得d＝0.∴f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c.又当x＝1时，f(x)取得极值－2，∴f1＝－2，f′1＝0，即a＋c＝－2，3a＋c＝0，解得a＝1，c＝－3.∴f(x)＝x3－3x.(2)由(1)知f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．令f′(x)＝0，得x＝±1.当－1x1时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x－1或x1时，f′(x)0，f(x)单调递增．∴f(x)的递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)．∴f(x)在x＝－1处取得极大值，且极大值为f(－1)＝2.(3)证明：由(2)知f(x)在[－1,1]上单调递减，且f(x)在[－1,1]上的最大值为M＝f(－1)＝2，最小值为m＝f(1)＝－2，∴对任意x1，x2∈(－1,1)，|f(x1)－f(x2)|M－m＝4成立，即对任意x1，x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|4恒成立．方法点评：函数不等式问题，常利用导数研究函数的性质(单调性、极值、最值等)来解决问题，要注意分离参数法、转化与化归思想、数形结合思想的运用．3．(2017年天津)设a，b∈R，|a|≤1.已知函数f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，g(x)＝exf(x)．(1)求f(x)的单调区间；(2)已知函数y＝g(x)和y＝ex的图象在公共点(x0，y0)处有相同的切线．(i)求证：f(x)在x＝x0处的导数等于0；(ii)若关于x的不等式g(x)≤ex在区间[x0－1，x0＋1]上恒成立，求b的取值范围．【解析】(1)由f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，可得f′(x)＝3x2－12x－3a(a－4)＝3(x－a)[x－(4－a)]，令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝4－a.由|a|≤1，得a＜4－a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，a)和(4－a，＋∞)，单调递减区间为(a,4－a)．x(－∞，a)(a,4－a)(4－a，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)↗↘↗(2)(i)因为g′(x)＝ex(f(x)＋f′(x))，由题意知gx0＝ex0，g′x0＝ex0，所以fx0ex0＝ex0，ex0fx0＋f′x0＝ex0，解得fx0＝1，f′x0＝0.所以f(x)在x＝x0处的导数等于0.(ii)因为g(x)≤ex，x∈[x0－1，x0＋1]，由ex＞0，可得f(x)≤1.又因为f(x0)＝1，f′(x0)＝0，故x0为f(x)的极大值点，由(1)知x0＝a.另一方面，由于|a|≤1，故a＋1＜4－a，由(1)知f(x)在(a－1，a)内单调递增，在(a，a＋1)内单调递减，故当x0＝a时，f(x)≤f(a)＝1在[a－1，a＋1]上恒成立，从而g(x)≤ex在[x0－1，x0＋1]上恒成立．由f(a)＝a3－6a2－3a(a－4)a＋b＝1，得b＝2a3－6a2＋1，－1≤a≤1.令t(x)＝2x3－6x2＋1，x∈[－1,1]，所以t′(x)＝6x2－12x，令t′(x)＝0，解得x＝2(舍去)或x＝0.因为t(－1)＝－7，t(1)＝－3，t(0)＝1，故t(x)的值域为[－7,1]．所以，b的取值范围是[－7,1]．专题三定积分及其应用定积分是解决求平面图形，特别是不规则图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功等问题的方便而且强有力的工具．【例4】设两抛物线y＝－x2＋2x，y＝x2所围成的图形为M，求M的面积．解：函数y＝－x2＋2x，y＝x2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．由图可知，图形M的面积S＝01(－x2＋2x－x2)dx＝01(－2x2＋2x)dx＝－23x3＋x210＝13.方法点评：不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标．4．已知函数f(x)＝－x2＋8x的图象上一点P(1，f(1))，过P作平行于x轴的直线l1，直线l2：x＝2，求如图所示的阴影部分的面积S.【解析】由f(x)＝－x2＋8x，得f(1)＝7.所以阴影部分的面积S＝01(7＋x2－8x)dx＋12(－x2＋8x－7)dx＝x33－4x2＋7x10＋－x33＋4x2－7x21＝6.利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点．求函数的单调区间、函数的极值与最值、参数的取值范围等问题常出现．若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现．考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强．【解读高考】1．(2018年新课标Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x【答案】D【解析】由f(x)为奇函数可得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，则f′(x)＝3x2＋1.因为f′(0)＝1，所以y＝f(x)在点(0