2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理课件 新人教A版选修2-

1.6微积分基本定理一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P51～P54的内容，回答下列问题．(1)观察教材P51图1.6－1，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s.①由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)与y(t)之间有什么关系？提示：v(t)＝y′(t)．②如何利用y＝y(t)表示物体在t∈[a，b]上的位移s?③若v(t)表示物体在任意时刻t的速度，如何用v(t)求物体在t∈[a，b]上的位移s?提示：s＝abv(t)dt.④由①②③能否得出结论s＝abv(t)dt＝aby′(t)dt＝y(b)－y(a)成立？提示：能．提示：s＝y(b)－y(a)．(2)计算定积分0πsinxdx，π2πsinxdx，02πsinxdx，由计算结论你能发现什么规律？提示：当曲边梯形在x轴上方时，定积分的值取正值；当曲边梯形在x轴下方时，定积分的值取负值；当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0.提示：0πsinxdx＝2，π2πsinxdx＝－2，02πsinxdx＝0.即定积分的值可正，可负，还可能为0.(3)根据0πsinxdx，π2πsinxdx和02πsinxdx值的特点以及曲边梯形的面积，你能得出定积分与曲边梯形的面积有什么关系吗？(参阅教材P54图1.6－3，图1.6－4，图1.6－5)．二、归纳总结·核心必记1．微积分基本定理内容如果f(x)是区间[a，b]上的函数，并且F′(x)＝，那么abf(x)dx＝．符号abf(x)dx＝F(x)|ba＝.f(x)F(b)－F(a)连续F(b)－F(a)2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下．则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图(1)，则abf(x)dx＝．(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图(2)，则abf(x)dx＝．(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则abf(x)dx＝，若S上＝S下，则abf(x)dx＝.S上－S下S上－S下0三、综合迁移·深化思维(1)满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一吗？提示：不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值．(2)如果abf(x)dx＝abg(x)dx，那么是否一定有f(x)＝g(x)？请举例说明．提示：不一定，例如：当f(x)＝2x，g(x)＝3x2时，012xdx＝013x2dx，但f(x)≠g(x)．(3)如图，如何用阴影面积S1，S2，S3表示定积分abf(x)dx的值？提示：abf(x)dx＝S1－S2＋S3.(4)你认为abf(x)dx，ab|f(x)|dx和abfxdx有什么不同？提示：①abf(x)dx表示的是由x轴，函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(ab)所围图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积)；②fx是非负的，所以ab|f(x)|dx表示在区间[a，b]上所有以fx的图象为曲边的曲边梯形的面积和；③abfxdx则是abf(x)dx的绝对值．三者的值一般情况下是不同的，但对于f(x)≥0，x∈[a，b]，三者的值是相同的．探究点一求简单函数的定积分[思考探究](1)如何利用微积分基本定理求函数f(x)在[a，b]上的定积分abf(x)dx?名师指津：用微积分基本定理求定积分的步骤：①求f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a)．名师指津：由于abf(x)dx＝F(b)－F(a)，且f(x)的原函数间相差一个常数，在计算时，不影响F(b)－F(a)的值，故abf(x)dx是唯一的．(2)我们知道，已知函数f(x)，则满足F′(x)＝f(x)的函数y＝F(x)不唯一，那么abf(x)dx的值唯一吗？[典例精析]计算下列定积分．(1)01(x3－2x)dx；(2)02π(x＋cosx)dx；(3)02πsin2x2dx;(4)121xx＋1dx.[解](1)∵14x4－x2′＝x3－2x，∴01(x3－2x)dx＝14x4－x210＝－34.(2)∵12x2＋sinx′＝x＋cosx，∴02π(x＋cosx)dx＝12x2＋sinxπ20＝π28＋1.(3)sin2x2＝1－cosx2，而12x－12sinx′＝12－12cosx，∴02πsin2x2dx＝02π12－12cosxdx＝12x－12sinxπ20＝π4－12＝π－24.(4)∵f(x)＝1xx＋1＝1x－1x＋1，且[lnx－ln(x＋1)]′＝1x－1x＋1，∴121xx＋1dx＝121x－1x＋1dx＝[lnx－ln(x＋1)]21＝ln43.[类题通法]用微积分基本定理求定积分，实质上是导数的逆运算，即求导数等于被积函数的一个函数，求解时需要注意以下两点：(1)熟练掌握基本函数的导数及导数的运算法则，学会逆运算；(2)当被积函数较为复杂，不容易找到原函数时，可适当变形后再求解．特别地，需要弄清楚积分变量，精确定位积分区间，分清积分上限与积分下限．[针对训练]1．计算下列定积分．(1)-21(1－t3)dt；(2)-π0(cosx＋ex)dx；(3)49x(1＋x)dx；(4)0e33x＋2dx；(5)π2π2cos2xdx.解：(1)∵t－14t4′＝1－t3，∴-21(1－t3)dt＝t－14t41-2＝1－14－－2－14－24＝274.(2)∵(sinx＋ex)′＝cosx＋ex，∴-π0(cosx＋ex)dx＝(sinx＋ex)0-π＝(0＋1)－(0＋e－π)＝1－e－π.(3)原式＝49(x＋x)dx＝49x12dx＋49xdx.∵23x32′＝x12，12x2′＝x，∴49x12dx＋49xdx＝23x32|94＋12x2|94＝2716.(4)∵[ln(3x＋2)]′＝33x＋2，∴0e33x＋2dx＝ln(3x＋2)e0＝ln(3e＋2)－ln(3×0＋2)＝ln3e＋22.(5)原式＝π2π2cos2xdx＝π2π21＋cos2x2dx∵x2＋sin2x4′＝1＋cos2x2，∴π2π2cos2xdx＝12x＋14sin2xπ2π2＝π4＋14sinπ－－π4＋14sin－π＝π2.探究点二求分段函数的定积分[思考探究]abf(x)dx、acf(x)dx、cbf(x)dx(其中acb)之间有什么关系？名师指津：abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中acb)．[典例精析]求函数f(x)＝x3，x∈[0，1]，x，x∈[1，2]，2x，x∈[2，3]在区间[0,3]上的积分．[解]由积分性质，得：03f(x)dx＝01f(x)dx＋12f(x)dx＋23f(x)dx＝01x3dx＋12xdx＋232xdx＝01x3dx＋12x12dx＋232xdx＝x4410＋23x3221＋2xln232＝14＋432－23＋8ln2－4ln2＝－512＋432＋4ln2.[类题通法]分段函数定积分的求法求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段定积分和的形式，若函数解析式中含有绝对值，应根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值符号，化为分段函数后再求积分．[针对训练]2．计算定积分-40|x＋3|dx.解：因为f(x)＝|x＋3|＝－x－3，x－3，x＋3，x≥－3，所以－40|x＋3|dx＝－4－3(－x－3)dx＋－30(x＋3)dx＝－12x2－3x-3-4＋12x2＋3x0-3＝5.探究点三根据定积分求参数[典例精析]设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若01f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，求x0的值．[思路点拨]分别求出01f(x)dx和f(x0)的值，然后利用二者相等建立关于x0的方程求解．[解]因为f(x)＝ax2＋c(a≠0)，且a3x3＋cx′＝ax2＋c，所以01f(x)dx＝01(ax2＋c)dx＝a3x3＋cx10＝a3＋c＝ax20＋c，解得x0＝33或x0＝－33(舍去)．即x0的值为33.[类题通法]利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．[针对训练]3．设f(x)＝ax＋b，且-11[f(x)]2dx＝1，求f(a)的取值范围．解：由-11[f(x)]2dx＝1可得，-11(ax＋b)2dx＝-11(a2x2＋2abx＋b2)dx＝a23x3＋abx2＋b2x1-1＝1，即2a2＋6b2＝3，则b2＝3－2a26≤36＝12，即－22≤b≤22.于是f(a)＝a2＋b＝－3b2＋b＋32＝－3b－162＋1912，所以－22≤f(a)≤1912.即f(a)的取值范围为－22，1912.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是利用微积分基本定理求定积分，难点是根据定积分求参数．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)利用微积分基本定理求定积分，见探究点一和探究点二；(2)根据定积分求参数的值(或取值范围)，见探究点三．3．正确确定原函数是利用微积分基本定理求定积分的关键，也是本节课的易错点．