2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 函数的最大（小）值与导数课件 新人

1．3.3函数的最大(小)值与导数一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P29～P31的内容，回答下列问题．(1)观察教材P29图1.3－13，回答下列问题：①你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的极大值和极小值吗？提示：极大值有f(x2)，f(x4)，f(x6)；极小值有f(x1)，f(x3)，f(x5)．提示：最大值为f(a)，最小值为f(x3)．②你能找出函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值吗？(2)观察教材P30图1.3－14，函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值吗？分别是什么？提示：最大值为f(b)，最小值为f(a)．(3)观察教材P30图1.3－15，函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值吗？分别是什么？提示：最大值为f(x3)，最小值为f(x4)．(4)通过以上观察，你认为函数f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是极值吗？提示：不一定，可能是区间端点对应的函数值．(5)怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？提示：比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值．二、归纳总结·核心必记1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．函数最值的求法求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下：(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中是最大值，是最小值．一条连续不断极值最大的一个最小的一个三、综合迁移·深化思维在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值．当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值．探究点一求函数的最值[典例精析]求下列各函数的最值．(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－3，3]；(2)f(x)＝x2－54x(x0)．[解](1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1,1)1(1,3)3f′(x)－0＋0－f(x)0极小值极大值－18所以x＝1和x＝－1是函数在[－3，3]上的两个极点，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－3)＝0，f(3)＝－18.所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.(2)f′(x)＝2x＋54x2.令f′(x)＝0得x＝－3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,0)f′(x)－0＋f(x)极小值所以x＝－3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值．[类题通法]利用导数求函数最值的策略(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得：①求出导数为零的点；②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．[针对训练]1．求下列各函数的最值．(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；(2)f(x)＝12x＋sinx，x∈[0,2π]．解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，因为f′(x)在[－1,1]内恒大于0，所以f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)取最小值为－12，x＝1时，f(x)取最大值为2.(2)f′(x)＝12＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝2π3或x＝4π3.计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f2π3＝π3＋32，f4π3＝2π3－32.所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.探究点二由函数的最值确定参数的值[典例精析]已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)x，其中a0.(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．[解](1)当a＝－4时，f′(x)＝25x－2x－2x，令f′(x)0，得x∈0，25或x∈(2，＋∞)，故函数f(x)的单调递增区间为0，25和(2，＋∞)．(2)f′(x)＝10x＋a2x＋a2x，a0，由f′(x)＝0得x＝－a10或x＝－a2.当x∈0，－a10时，f(x)单调递增；当x∈－a10，－a2时，f(x)单调递减；当x∈－a2，＋∞时，f(x)单调递增．易知f(x)＝(2x＋a)2x≥0，且f－a2＝0.①当－a2≤1，即－2≤a0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±22－2，均不符合题意．②当1－a2≤4，即－8≤a－2时，此时15－a10≤45，f(x)在[1,4]上的最小值为f－a2＝0，不符合题意．③当－a24，即a－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f(1)＝8时没有符合题意的a值，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．综上知，a＝－10.[类题通法]已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．[针对训练]2．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．解：由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋bb－16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝－29，即b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.探究点三与最值有关的恒成立问题[思考探究]若a≥f(x)恒成立，则a的取值范围是什么？若a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是什么？名师指津：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max.(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.[典例精析]已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．[思路点拨]2f(x)≥g(x)恒成立，可转化为2f(x)－g(x)≥0恒成立，然后利用分离参数法求a的取值范围．[解](1)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，当x∈0，1e时，f′(x)0，f(x)单调递减，当x∈1e，＋∞时，f′(x)0，f(x)单调递增．所以f(x)min＝f1e＝－1e.(2)2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋3x，设h(x)＝2lnx＋x＋3x(x0)，则h′(x)＝x＋3x－1x2，①x∈(0,1)，h′(x)0，h(x)单调递减；②x∈(1，＋∞)，h′(x)0，h(x)单调递增；所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4，即a的取值范围是(－∞，4]．[类题通法]不等式恒成立问题的转化技巧(1)a≥f(x)(或≤f(x))恒成立⇔a≥f(x)max(或≤f(x)min);(2)a≥f(x)(或≤f(x))恒有解⇔a≥f(x)min(或≤f(x)max)；(3)f(x)≥g(x)恒成立⇔F(x)min≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x));(4)f(x)≥g(x)恒有解⇔F(x)max≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x))．[针对训练]3．设函数f(x)＝xex－xa2x＋1＋2.(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；(2)当x≥0时，f(x)≥x2－x＋2恒成立，求a的取值范围．解：(1)∵a＝1，∴f(x)＝xex－x12x＋1＋2＝xex－12x2－x＋2，∴f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，∴当－1x0时，f′(x)0;当x－1或x0时，f′(x)0，∴f(x)在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增．(2)由f(x)≥x2－x＋2，得xex－a＋22x≥0，当x＝0时，显然成立；当x0时，即exx≥a＋22恒成立．记g(x)＝exx，则g′(x)＝exx－1x2，当0x1时，g′(x)0，g(x)是减函数，当x1时，g′(x)0，g(x)是增函数．∴g(x)的最小值为g(1)＝e，∴a＋22≤e，得a≤2e－2.即a的取值范围是(－∞，2e－2]．[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是函数最值的求法及与最值有关的不等式恒成立问题，难点是由函数的最值求参数及不等式的恒成立问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求函数最值的方法，见探究点一；(2)由函数最值求参数的方法，见探究点二；(3)与函数最值有关的不等式恒成立问题的解法，见探究点三．