2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.3 基本初等函数的导数公式及导数的运算

1.2.3基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)目标定位重点难点1.能利用导数的四则运算法则求导数2.理解复合函数的求导法则，并能求解简单的复合函数的导数重点：函数的和、差、积、商的导数难点：求乘积和分式形式函数的导数，求复合函数的导数1．导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝__________________；(2)[cf(x)]′＝______________；(3)[f(x)·g(x)]′＝__________________________；(4)fxgx′＝______________________(g(x)≠0)．f′(x)±g′(x)cf′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′xgx－fxg′x[gx]22．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为__________________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．y′x＝y′u·u′x1．若对任意的x有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为()A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x4＋1D．f(x)＝x4＋2【答案】B2．曲线y＝xex在x＝1处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．1【答案】A【答案】D4．若f(x)＝(2x＋a)2，f′(2)＝20，则实数a＝________.【答案】13．(2018年广东珠海阶段性测试)y＝exx＋1的导数是()A．－xexx＋13B．xexx＋13C．－xexx＋12D．xexx＋12求函数的导数【例1】求下列函数的导数．(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(3)y＝x－1x＋1；(4)y＝－sinx21－2cos2x4.【解题探究】(1)利用和、差的运算法则求导；(2)利用积的运算法则或先化简再利用和、差的运算法则求导；(3)利用商的运算法则求导；(4)先化简，再求导．【解析】(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′＝5x4－9x2－10x.(2)(方法一)y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9.(方法二)∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.(3)y′＝x－1x＋1′＝x－1′x＋1－x－1x＋1′x＋12＝x＋1－x－1x＋12＝2x＋12.(4)∵y＝－sinx21－2cos2x4＝－sinx2－cosx2＝12sinx，∴y′＝12sinx′＝12cosx.在求导时，对于简单的和、差、商、积可以直接求导；但有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，可在求导前可将函数化简，然后再求导．1．求下列函数的导数．(1)y＝xx2＋1x＋1x3；(2)y＝sin4x4＋cos4x4；(3)y＝xnex；(4)y＝cosxsinx.【解析】(1)y＝x3＋1＋x－2，∴y′＝3x2－2x3.(2)y＝sin2x4＋cos2x42－2sin2x4cos2x4＝1－12sin2x2＝1－12·1－cosx2＝34＋14cosx，∴y′＝－14sinx.(3)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)．(4)y′＝－sin2x－cos2xsin2x＝－1sin2x.求复合函数的导数【例2】求下列复合函数的导数．(1)y＝(2x－3)5；(2)y＝3－x；(3)y＝sin22x＋π3；(4)y＝ln(2x＋5)．【解题探究】首先分析所给函数的复合层次，然后结合复合函数的求导法则，并充分运用初等函数的求导公式进行求解．【解析】(1)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5由y＝u5与u＝2x－3复合而成．∴y′x＝y′u·u′x＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4.(2)设u＝3－x，则y＝3－x由y＝u12与u＝3－x复合而成．∴y′x＝y′u·u′x＝(u12)′(3－x)′＝12u－12×(－1)＝－12u－12＝－123－x＝3－x2x－6.(3)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋π3，则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝4sin2x＋π3·cos2x＋π3＝2sin4x＋2π3.(4)设y＝lnu，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x，y′＝12x＋5·(2x＋5)′＝22x＋5.复合函数的求导时，要明确分步计算中对哪个变量求导，特别要注意中间变量的系数．2．求下列函数的导数．(1)y＝x2＋1；(2)y＝sin22x；(3)y＝e－xsin2x;(4)y＝ln1＋x2.【解析】(1)y′＝12x2＋1·2x＝xx2＋1.(2)y′＝(2sin2x)(cos2x)×2＝2sin4x.(3)y′＝(－e－x)sin2x＋e－x(cos2x)×2＝e－x(2cos2x－sin2x)．(4)y′＝11＋x2·121＋x2·2x＝x1＋x2.【例3】已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．【解题探究】(1)先求出直线l1的方程，再设出曲线与l2相切的切点坐标，表示出直线l2的方程，再由条件求解l2即可；(2)求l1与l2的交点及l1，l2与x轴的交点，即可求解三角形的面积．导数的应用【解析】(1)由已知得y′＝2x＋1，所以y′|x＝1＝3.所以直线l1的方程为y＝3x－3.设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，所以2b＋1＝－13，b＝－23.所以直线l2的方程为y＝－13x－229.(2)解方程组y＝3x－3，y＝－13x－229，得x＝16，y＝－52.所以直线l1和l2的交点坐标为16，－52.l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，－223，0.所以所求三角形的面积为S＝12×253×－52＝12512.导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.方法是先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．3．若函数f(x)＝exx在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于()A．0B．1C．12D．不存在【答案】C【解析】由f(x)＝exx，得f′(x)＝xex－exx2.由题意，得f(x0)＋f′(x0)＝0，即ex0x0＋x0ex0－ex0x20＝0，解得x0＝12.求导法则运用错误【示例】求函数f(x)＝xx23xcost的导数．【错解】因为f(x)＝xx23xcost＝12x76cost，所以f′(x)＝12(x76cost)′＝12[(x76)′cost＋x76(cost)′]＝712x16cost－12x76sint.【错因分析】在此题中，y是关于x的函数，而cost是常数．【正解】因为f(x)＝xx23xcost＝12x76cost，所以f′(x)＝12(x76cost)′＝12cost(x76)′＝712x16cost.【警示】含参数的函数求导时，先明确变量与常数，再根据求导规则求导，避免求导时出现错误．1．牢记常用函数的导数公式和运算法则．2．求函数的导数时为简化运算经常先化简再求导．3．应用函数的和、差、积、商的求导法则求复杂函数的导数．难点是商求导法则的理解与应用，易与积的求导法则混淆．解题时可以先运用函数式的恒等变形，尽可能避免使用商的求导法则，减少运算量，学习中应适时进行归纳总结．4．对复合函数的求导，需注意以下几点：(1)分清复合函数的复合关系，即是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，如求y＝sin22x＋π3的导数，设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋π3，则y′x＝yu′·uv′·vx′＝2u·cosv·2＝4sin2x＋π3cos2x＋π3＝2sin4x＋2π3.熟练后也可省略中间步骤．1．已知函数f(x)＝x4＋ax2－bx，若f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，则a＋b等于()A．18B．－18C．8D．－8【答案】A【答案】A2．(2017年内蒙古包头期末)已知f(x)＝excosx，则f′π2的值为()A．－eπ2B．eπ2C．0D．－e3.已知f(x)＝cosx·sin3x，则f′(x)＝()A．cosxcos3x＋3sinxsin3xB．cosxcos3x－3sinxsin3xC．3cosxcos3x＋sinxsin3xD．3cosxcos3x－sinxsin3x【答案】D4．(2019年四川成都模拟)已知函数f(x)＝－x3＋2x2＋2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是________．【答案】[2,6]【解析】f′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6.因为x0∈[0,3]，所以f′(x0)∈[2,6].又因为切线与直线x＋my－10＝0垂直，所以切线的斜率为m，所以m的取值范围是[2,6]．