2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 第一课时 几个常用函数的导

1.2导数的计算第一课时几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P12～P16的内容，回答下列问题．已知函数：①y＝f(x)＝c，②y＝f(x)＝x，③y＝f(x)＝x2，④y＝f(x)＝1x，⑤y＝f(x)＝x.(1)函数y＝f(x)＝c的导数是什么？提示：∵ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx＝c－cΔx＝0，∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝0.(2)函数②③④⑤的导数分别是什么？提示：由导数的定义得：(x)′＝1，(x2)′＝2x，1x′＝－1x2，(x)′＝12x.(3)函数②③⑤均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？提示：∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，(x)′＝x12)′＝12x112＝12x，∴(xα)′＝αxα－1.二、归纳总结·核心必记1．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝axf′(x)＝(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logaxf′(x)＝____(a＞0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝_____0α·xα－1cosx－sinxaxlnaex1xlna1x2．导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝．(3)fxgx′＝__________________________(g(x)≠0)．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x)f′xgx－fxg′x[gx]2三、综合迁移·深化思维(1)常数函数的导数为0说明什么？提示：说明常数函数f(x)＝c图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴．(2)对于公式“若f(x)＝xα(α∈Q*)，则f′(x)＝αxα－1”，若把“α∈Q*”改为“α∈R”，公式是否仍然成立？提示：当α∈R时，f′(x)＝αxα－1仍然成立．(3)下面的计算过程正确吗？sinπ4′＝cosπ4＝22.(4)若f(x)，g(x)都是可导函数，且f(x)≠0，那么下列关系式成立吗？①[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)；②1fx′＝－f′x[fx]2.提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确．提示：不正确．因为sinπ4＝22是一个常数，而常数的导数为零，所以sinπ4′＝0.探究点一利用导数公式求函数的导数[思考探究]你能说出函数f(x)＝c与f(x)＝xα、f(x)＝sinx与f(x)＝cosx、f(x)＝ax与f(x)＝ex、f(x)＝logax与f(x)＝lnx的导数公式有什么特点和联系吗？名师指津：(1)幂函数f(x)＝xα中的α可以由Q*推广到任意实数．(2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，(ex)′＝ex是(ax)′＝axlna的特例．(4)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数，(lnx)′＝1x是(logax)′＝1xlna的特例．[典例精析]求下列函数的导数：(1)y＝10x；(2)y＝lgx；(3)y＝log12x；(4)y＝4x3；(5)y＝sinx2＋cosx22－1.[解](1)y′＝(10x)′＝10xln10.(2)y′＝(lgx)′＝1xln10.(3)y′＝(log12x)′＝1xln12＝－1xln2.(4)y′＝(4x3)′＝(x34)′＝34x14＝344x.(5)∵y＝sinx2＋cosx22－1＝sin2x2＋2sinx2cosx2＋cos2x2－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.[类题通法]求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．[针对训练]1．求下列函数的导数：(1)y＝1ex；(2)y＝110x；(3)y＝lg5；(4)y＝3lg3x；(5)y＝2cos2x2－1.解：(1)y′＝1ex′＝1exln1e＝－1ex＝－e－x.(2)y′＝110x′＝110xln110＝－ln1010x＝－10－xln10.(3)∵y＝lg5是常数函数，∴y′＝(lg5)′＝0.(4)∵y＝3lg3x＝lgx，∴y′＝(lgx)′＝1xln10.(5)∵y＝2cos2x2－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.探究点二利用导数的运算法则求导数[典例精析]求下列函数的导数：(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sinx2cosx2；(3)y＝x2＋log3x;(4)y＝ex＋1ex－1.[解](1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.(2)∵y＝x－12sinx，∴y′＝x′－12(sinx)′＝1－12cosx.(3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋1xln3.(4)y′＝ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ex－12＝exex－1－ex＋1exex－12＝－2exex－12.[类题通法]利用导数运算法则求解的策略(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．[针对训练]2．求下列函数的导数：(1)y＝cosxx；(2)y＝xsinx＋x；(3)y＝1＋x1－x＋1－x1＋x；(4)y＝lgx－1x2.解：(1)y′＝cosxx′＝cosx′·x－cosx·x′x2＝－x·sinx－cosxx2＝－xsinx＋cosxx2.(2)y′＝(xsinx)′＋(x)′＝sinx＋xcosx＋12x.(3)∵y＝1＋x21－x＋1－x21－x＝2＋2x1－x＝41－x－2，∴y′＝41－x－2′＝－41－x′1－x2＝41－x2.(4)y′＝lgx－1x2′＝(lgx)′－1x2′＝1xln10＋2x3.探究点三利用导数公式研究曲线的切线问题[典例精析]点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[思考点拨]将直线y＝x向上平移，当直线与曲线y＝ex相切时，该切点到直线y＝x的距离最小．[解]如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.[类题通法]关于函数导数的应用及其解决方法应用求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用方法先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用[针对训练]3．设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中a0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，则b＝________，c＝________.解析：(1)由题意得f′(x)＝x2－ax＋b，由切点P(0，f(0))既在函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c上又在切线y＝1上，得f′0＝0，f0＝1，即02－a·0＋b＝0，13×03－a2×02＋b·0＋c＝1，解得b＝0，c＝1.答案：014．求过曲线y＝cosx上点Pπ3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．解：∵y＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx，∴曲线在点Pπ3，12处的切线的斜率为k＝y′|x3＝－sinπ3＝－32，∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y－12＝233x－π3，即233x－y＋12－239π＝0.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是基本初等函数的导数公式及导数运算法则，难点是灵活运用导数公式和运算法则解决相关问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)利用导数公式求导数，见探究点一；(2)利用导数运算法则求导数，见探究点二；(3)利用导数运算研究曲线的切线问题，见探究点三．3．本节课的易错点是导数公式(ax)′＝axlna和(logax)′＝1xlna以及运算法则[f(x)·g(x)]′与fxgx′的区别．