2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义课件 新人教A版选修

1.1.3导数的几何意义一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P6～P9的内容，回答下列问题．观察教材P7图1.1－2，回答下列问题．(1)割线PPn的斜率kn是什么？提示：割线PPn的斜率kn＝ΔynΔxn＝fxn－fx0xn－x0.(2)当点Pn趋近于点P时，割线PPn与过点P的切线PT有什么关系？提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于过点P的切线PT.(3)当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？提示：kn无限趋近于切线PT的斜率k.(4)如何求得过点P的切线PT的斜率？提示：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝f′(x0)．二、归纳总结·核心必记1．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的，即k＝f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.2．导函数从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝_________________.斜率k确定导数limΔx→0fx＋Δx－fxΔx三、综合迁移·深化思维(1)若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)函数y＝f(x)的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f′(x1)、f′(x2)和f′(x3)的大小吗？提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kAkB，在C处的切线斜率小于零，所以f′(x1)f′(x2)f′(x3)．(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？提示：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．(4)f′(x0)与f′(x)有什么区别？提示：f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数．探究点一求曲线的切线方程[思考探究](1)直线的点斜式方程是什么？提示：y－y0＝k(x－x0)．(2)如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？名师指津：根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．(3)曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？名师指津：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．[典例精析]已知曲线y＝x2，求：(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)曲线过点P(3,5)的切线方程．[解](1)设切点为(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝limΔx→0x0＋Δx2－x20Δx＝limΔx→0x20＋2x0·Δx＋Δx2－x20Δx＝2x0，∴y′|x＝1＝2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)，由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)，①再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x20，②联立①，②得x0＝1或x0＝5.从而切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即y＝10x－25.综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.[类题通法]利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．[针对训练]1．已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．解：y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2x＋Δx2－7]－2x2－7Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.探究点二求切点坐标[思考探究]如何处理切点问题？名师指津：切点问题的处理方法：(1)借斜率先求横坐标：由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标．(2)与几何知识相联系：解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等．[典例精析]若曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求P点坐标及切线方程．[解]设P点坐标为(x0，y0)，ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx＝x0＋Δx3－3x0＋Δx2＋1－x30＋3x20－1Δx＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0.所以f′(x0)＝limΔx→0[(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0]＝3x20－6x0，于是3x20－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，因此，点P的坐标为(3,1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.[类题通法]根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．[针对训练]2．已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?解：设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．探究点三导数几何意义的应用[典例精析](1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的()(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()[解析](1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.[答案](1)A(2)D[类题通法]导数与函数图象升降的关系若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．[针对训练]3．如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的()解析：函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．答案：D[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是求曲线在某一点的切线方程及导数几何意义的应用，难点是求曲线的切线方程．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求曲线的切线方程的方法，见探究点一；(2)已知曲线的切线求切点坐标，见探究点二；(3)导数几何意义的应用，见探究点三．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上，这是本节课的易错点．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的曲线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在曲线上，则先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．