2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题

1．1.1～1.1.2变化率问题导数的概念课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．平均变化率函数f(x)从x1到x2的平均变化率ΔyΔx＝.若函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义，则函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率是ΔyΔx＝.□01fx2－fx1x2－x1□02fx0＋Δx－fx0Δx课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．瞬时变化率设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值的改变量Δy＝如果当Δx趋近于0时，平均变化率ΔyΔx趋近于一个常数L，则常数L称为函数f(x)在x0的瞬时变化率，记作＝L.□03f(x0＋Δx)－f(x0)．□04limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，函数y＝f(x)在点x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或.即f′(x0)＝.简言之，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的□05limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx□06y′|x＝x0□07limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx□08瞬时变化率．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练导数概念的理解(1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0.(2)若f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值．(3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝limx→x0fx－fx0x－x0与概念中的f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx意义相同．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()√××课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)＝2x＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________．(2)函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．(3)函数y＝f(x)＝1x在x＝－1处的导数可表示为________．答案(1)2(2)2(3)f′(－1)或y′|x＝－1答案课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1求函数的平均变化率例1求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[解]函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为fx0＋Δx－fx0x0＋Δx－x0＝[3x0＋Δx2＋2]－3x20＋2Δx＝6x0·Δx＋3Δx2Δx＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[结论探究]在本例中，分别求函数在x0＝1,2,3附近Δx取12时的平均变化率k1，k2，k3，并比较其大小．[解]由例题可知，函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.当x0＝1，Δx＝12时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练当x0＝2，Δx＝12时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x0＝3，Δx＝12时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为k3＝6×3＋3×0.5＝19.5.所以k1k2k3.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，主要步骤是：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)；(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0；(3)得平均变化率ΔyΔx＝fx1－fx0x1－x0.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】(1)若函数f(x)＝x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近一点Q(2＋Δx,3＋Δy)，则ΔyΔx＝()A．4B．4ΔxC．4＋ΔxD．Δx(2)求y＝x在x0到x0＋Δx之间的平均变化率________．答案(1)C(2)1x0＋Δx＋x0答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析(1)∵Δy＝(2＋Δx)2－1－(22－1)＝4Δx＋(Δx)2，∴ΔyΔx＝4Δx＋Δx2Δx＝4＋Δx.(2)∵Δy＝x0＋Δx－x0，∴y＝x在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为ΔyΔx＝x0＋Δx－x0Δx＝1x0＋Δx＋x0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2求平均速度与瞬时速度例2若一物体运动的位移s与时间t关系如下：(位移单位：m，时间单位：s)s＝3t2＋2，t≥3，29＋3t－32，0≤t3.求：(1)物体在t∈[3,5]上的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)因为物体在t∈[3,5]上的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]上的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t∈[3,5]上的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．因为物体在t＝0附近的平均变化率为ΔsΔt＝29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32Δt＝3Δt－18，所以物体在t＝0处的瞬时变化率为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3Δt－18)＝－18，即物体的初速度为－18m/s.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．因为物体在t＝1附近的平均变化率为ΔsΔt＝29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32Δt＝3Δt－12，所以物体在t＝1处瞬时变化率为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3Δt－12)＝－12，即物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】已知质点M做直线运动，且位移随时间变化的函数为s＝2t2＋3(位移单位：cm，时间单位：s)．(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求ΔsΔt；(2)当t＝2，Δt＝0.001时，求ΔsΔt；(3)求质点M在t＝2时的瞬时速度．解ΔsΔt＝st＋Δt－stΔt＝2t＋Δt2＋3－2t2＋3Δt＝4t＋2Δt.(1)当t＝2，Δt＝0.01时，ΔsΔt＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)当t＝2，Δt＝0.001时，ΔsΔt＝4×2＋2×0.001＝8.002(cm/s)．(3)v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3求函数f(x)在某点处的导数例3已知函数y＝f(x)＝3x2＋2，0≤x＜3，29＋3x－32，x≥3，求此函数在x＝1和x＝4处的导数．[解]当x＝1时，f(x)＝3x2＋2，所以Δy＝3(1＋Δx)2＋2－(3×12＋2)＝6Δx＋3(Δx)2.所以ΔyΔx＝6Δx＋3Δx2Δx＝6＋3Δx.所以f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(6＋3Δx)＝6.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练当x＝4时，f(x)＝29＋3(x－3)2，所以Δy＝29＋3(4＋Δx－3)2－[29＋3×(4－3)2]＝6Δx＋3(Δx)2.所以ΔyΔx＝6Δx＋3Δx2Δx＝6＋3Δx.所以f′(4)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(6＋3Δx)＝6.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升(1)求函数在某点处的导数可以分为以下三步：①计算Δy；②计算ΔyΔx；③计算limΔx→0ΔyΔx.注意：对于分段函数求导数问题，一定要先判断这一点在函数的哪一段上，再确定此点所满足的函数解析式．(2)求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x＝x0处的导数表达式，再代入变量求导数值．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是()A．2B．52C．1D．0解析因为y′＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx＋1x＋Δx－x＋1xΔx＝limΔx→01－1xx＋Δx＝1－1x2，所以y′|x＝1＝1－1＝0.故选D．解析答案D答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.函数在一点处的导数就是该点的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量.2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是其导函数y＝f′(x)在x＝x0处的函数值.随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．在平均变化率的定义中，自变量的改变量Δx满足()A．Δx0B．Δx0C．Δx≠0D．Δx＝0解析由平均变化率的定义可以得出结论．解析答案C答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．若函数f(x)＝2x2的图象上有点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx的值为()A．4B．4xC．4＋2(Δx)2D．4＋2Δx解析ΔyΔx＝21＋Δx2－2×12Δx＝4＋2Δx，故选D．解析答案D答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．已知函数f(x)＝2x－3，则f′(5)＝________.解析因为Δy＝f(5＋Δx)－f(5)＝[2(5＋Δx)－3]－(2×5－3)＝2Δx，所以ΔyΔx＝2，所以f′(5)＝limΔx→0ΔyΔx＝2.解析答案2答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练4．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2，其中路程s的单位：m，时间的单位：s，则t＝2s时，汽车的瞬时速度是________．解析s′(2)＝limΔx→022＋Δt3－52＋Δt2－2×23－5×22Δt＝limΔx→0(4＋7Δt＋2Δt2)＝4.解析答案4m/s答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练5．一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t＝1时的瞬时速度．解(1)质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝8－31＋Δt2－8＋3×12Δt＝－6－3Δt.(2)由(1)知ΔsΔt＝－6－3Δt，当Δt无限趋近于0时，limΔt→0ΔsΔt＝－6，所以质点在t＝1时的瞬时速度为－6.答案