2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 4 逻辑联结词“且”“或”“非”课件 北师大版

一、用逻辑联结词构成新命题1．用逻辑联结词“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“”．2．用逻辑联结词“或”联结两个命题p和q，构成一个新命题“”．3．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作，读作“”．p且qp或q綈p非p二、含有逻辑联结词的命题的真假pq綈pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假[疑难提示]命题的否定和否命题的区别命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题是对“若p，则q”形式命题的条件和结论分别否定后得到的新命题，如命题“若x1，则x31”的否定为“若x1，则x3≤1”，而它的否命题为“若x≤1，则x3≤1”．[想一想]1．命题“p且q”，“p或q”的否定是什么？提示：“p且q”的否定是“綈p或綈q”，“p或q”的否定是“綈p且綈q”．[练一练]2．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有()A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真解析：“p或q”的否定“綈p且綈q”为真，则綈p和綈q均为真，从而p、q均为假．答案：B探究一用逻辑联结词联结新命题[典例1]分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题：(1)p：等比数列的公比可以是负数，q：等比数列可以是等差数列；(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0的两根的绝对值相等；(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．[解析](1)“p或q”：等比数列的公比可以是负数或等比数列可以是等差数列；“p且q”：等比数列的公比可以是负数且等比数列可以是等差数列；“非p”：等比数列的公比不可以是负数．(2)“p或q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或该方程的两根的绝对值相等；“p且q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且该方程的两根的绝对值相等；“非p”：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．(3)“p或q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p且q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；“非p”：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．在解题过程中，不但要注意，从结构上组成“p或q”，“p且q”与“非p”形式的复合命题，同时还应从字面上对语句的表达加以适当地调整．1．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p或(綈q)”表示()A．甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8环B．甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环C．甲的成绩超过9环且乙的成绩超过8环D．甲的成绩超过9环且乙的成绩没有超过8环解析：綈q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p或(綈q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环，故选B.答案：B2．在一次模拟射击游戏中，小李连续射击了两次，设命题p1：“第一次射击中靶”，命题p2：“第二次射击中靶”，试用p1，p2及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：(1)两次射击均中靶；(2)两次射击均未中靶；(3)两次射击恰好有一次中靶；(4)两次射击至少有一次中靶．解析：(1)因为“两次射击均中靶”的意思是“第一次中靶”，“第二次中靶”同时发生了，所以需用逻辑联结词“且”，应为：“p1且p2”；(2)“两次射击均未中靶”说明“第一次射击中靶”这件事情没有发生，也就是綈p1发生了，且“第二次射击中靶”这件事情也没有发生，也就是綈p2发生了，并且是綈p1与綈p2同时发生的，故用逻辑联结词联结应为：“綈p1且綈p2”；(3)“两次射击恰好有一次中靶”有可能是“第一次中靶而第二次未中”，即“p1且綈p2”；也有可能是“第一次未中，而第二次射中”即“綈p1且p2”；从而原命题用逻辑联结词联结应为：“p1且綈p2或綈p1且p2”；(4)“两次射击至少有一次中靶”即“第一次射中”或“第二次射中”应为“p1或p2”．探究二复合命题的否定[典例2]写出下列命题的否定．(1)p：100既能被4整除，又能被5整除；(2)p：三条直线两两相交；(3)p：一元二次方程至多有两个解．[解析](1)非p：100不能被4整除或不能被5整除．(2)非p：三条直线中至少有两条直线不相交．(3)非p：一元二次方程至少有三个解．命题“p且q”的否定为“綈p或綈q”，命题“p或q”的否定为“綈p且綈q”．3．写出下列命题的否定：(1)p：函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有唯一交点；(2)q：若x＝3或x＝4，则x2－7x＋12＝0.解析：(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有交点或至少有两个交点．(2)若x＝3或x＝4，则x2－7x＋12≠0.4．p：若函数f(x)＝msinx的最大值是5，则m＝－5，写出下列命题：(1)非p；(2)p的否命题．解析：(1)非p：若函数f(x)＝msinx的最大值是5，则m≠－5.(2)若函数f(x)＝msinx的最大值不是5，则m≠－5.探究三复合命题真值表的应用复合命题真值表的应用——正用—逆用—判断简单命题与复合命题—求变量的取值范围—求参数的取值范围5．分别指出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，并判断其真假．(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；(2)p：1是奇数，q：1是质数；(3)p：0∈∅，q：0∈{x|x2－3x－50}；(4)p：5≤5，q：27不是质数；(5)p：不等式x2＋2x－80的解集是{x|－4x2}，q：不等式x2＋2x－80的解集是{x|x－4或x2}．解析：(1)p或q：4∈{2,3}或2∈{2,3}，p且q：4∈{2,3}且2∈{2,3}，非p：4∉{2,3}．因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真．(2)p或q：1是奇数或是质数，p且q：1是奇数且是质数，非p：1不是奇数．因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假．(3)p或q：0∈∅或0∈{x|x2－3x－50}，p且q：0∈∅且0∈{x|x2－3x－50}，非p：0∉∅.因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真．(4)p或q：5≤5或27不是质数，p且q：5≤5且27不是质数，非p：55.因为p为55或5＝5，而5＝5为真，故p为真，又q也为真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假．(5)p或q：不等式x2＋2x－80的解集是{x|－4x2}或是{x|x－4或x2}，p且q：不等式x2＋2x－80的解集是{x|－4x2}且{x|x－4或x2}，非p：不等式x2＋2x－80的解集不是{x|－4x2}．因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假．6．判断下列命题是否为复合命题，若是，请指出它们的构成形式及构成它们的简单命题．(1)李明是运动员兼教练员；(2)x＝1是方程x2＝1的根；(3)不等式|x＋1|≤0没有实数解；(4)1是合数或是素数．解析：(1)这个命题是“p且q”的形式，其中p：李明是运动员，q：李明是教练员．(2)此命题不是复合命题，是简单命题．(3)这个命题是“非p”形式的命题，其中p：不等式|x＋1|≤0有实数解．(4)这个命题是“p或q”的形式，其中p：1是合数；q：1是素数．7．已知命题p：关于x的方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解，命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0.若p或q是假命题，求实数a的取值范围．解析：由2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝a2或x＝－a，∴当p为真命题时，a2≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2，即－2≤a≤2.∵只有一个实数x0满足x20＋2ax0＋2a≤0，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2，∴当q为真命题时，a＝0或a＝2.∵p或q为假命题，∴p，q均为假命题，即a－2或a2a≠0且a≠2，∴a－2或a2，∴实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．含量词命题的复合命题[典例](本题满分12分)已知命题p：“对任意x0，x＋1x＋1≥a”；命题q：“方程x2－ax＋2a＝0有两个不等实根”．若p且q为假命题，p或q为真命题，求实数a的取值范围.[解析]命题p为真命题时，a≤3，命题q为真命题时，a＜0或a＞8.4分因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以命题p，q一真一假.6分当p真q假时，0≤a≤3；当p假q真时，a＞8，……8分所以实数a的取值范围是[0,3]∪(8，＋∞)．…12分[规范与警示](1)正确理解“且”或“或”的含义是解此类题的关键，由“p且q”为假知p，q中至少一假，由“p或q”为真知p，q中至少一真．(2)充分利用集合中的“交”“并”与命题中的“且”“或”的对应关系理解题意，注意转化思想的应用．