2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件课件 新人教A版选修

1.2充分条件与必要条件目标定位重点难点1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义2．会判断所给条件是否是充分条件、必要条件和充要条件重点：理解充分条件、必要条件的意义难点：充分条件、必要条件与充要条件的判定1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p____qp____q条件关系p是q的______条件q是p的______条件p不是q的____条件q不是p的____条件⇒⇒/充分必要充分必要2．充要条件的概念(1)推出关系：p⇒q且q⇒p，记作________；(2)简称：p是q的充分必要条件，简称________；(3)意义：p⇔q，则p是q的________条件或q是p的________条件，即p与q______________.3．充要条件的证明证明充要条件应从两个方面证明，一是________，一是________．p⇔q充要条件充要充要互为充要条件充分性必要性1．(2016年北京)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D2．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C3．设命题甲：x和y满足2x＋y4，0xy3，命题乙：x和y满足0x1，2y3，那么甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B4．条件p：1－x0，条件q：xa.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，1)【例1】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x1，q：x21；(3)p：x，y不全为0，q：x＋y≠0.【解题探究】条件关系的判断，利用定义法、集合法、等价命题法．充分条件、必要条件、充要条件的判断【解析】(1)∵p⇒q，而q⇒/p，∴p是q的充分不必要条件．(2)p对应的集合为A＝{x|x1}，q对应的集合为B＝{x|x－1或x1}，∵AB，∴p是q的充分不必要条件．(3)¬p：x＝0且y＝0；¬q：x＋y＝0.∵¬p⇒¬q，而¬q⇒/¬p，∴p⇐q且p⇒/q.∴p是q的必要不充分条件．8充分、必要条件的判断方法：(1)利用定义判断：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．(2)从集合的角度判断：若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是“x∈A”的必要条件；若A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件．(3)利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．1．指出下列各题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)在△ABC中，p：AB，q：BCAC；(2)对于实数x，y，p：x＋y≠6，q：x≠2或y≠4；(3)在△ABC中，p：sinAsinB，q：tanAtanB；(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.【解析】(1)在△ABC中，显然有AB⇔BCAC，所以p是q的充要条件．(2)因为x＝2且y＝4⇒x＋y＝6，即¬q⇒¬p，但¬p⇒/¬q，所以p是q的充分不必要条件．(3)取A＝120°，B＝30°，p⇒/q，又取A＝30°，B＝120°，q⇒/p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，AB，所以p是q的充分不必要条件．【例2】已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)．若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解题探究】利用条件关系的性质解决问题．充分、必要条件的应用【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10.由x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m(m0)．∴p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m(m0)}．∵q是p的充分不必要条件，∴BA.∴m0，1＋m≤10，1－m≥－2，解得0m≤3.∴实数m的取值范围是(0,3]．8充分条件与必要条件的应用技巧：(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．2．已知p：|5x－2|3，q：1x2＋4x－50，则p是q的什么条件？【解析】记A＝{x||5x－2|3}，B＝x1x2＋4x－50，则A＝xx1或x－15，B＝{x|x1或x－5}．所以BA，所以q⇒p，即p是q的必要不充分条件．【例3】设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.【解题探究】充要条件的证明要从充分性和必要性两方面入手．充要条件的证明证明：(充分性)因为A＝90°，所以a2＝b2＋c2.于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，即x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0，该方程有两根，x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)．同样，另一个方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0.该方程也有两根，x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．从而可以发现x1＝x3，所以两方程有公共根．(必要性)设x是两方程的公共根，则x2＋2ax＋b2＝0，①x2＋2cx－b2＝0.②由①＋②得x＝－(a＋c)或x＝0(舍去)，将x＝－(a＋c)代入①并整理可得a2＝b2＋c2，所以A＝90°.综上所述，该方程有公共根的充要条件是A＝90°.8要证明一个条件p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方面进行证明．要证充分性，即证“若p，则q”为真；要证必要性，即证“若q，则p”为真．在证明的过程中，若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．3．求证：“a1”是“不等式ax2＋2x＋10恒成立”的充要条件．证明：当a＝0时，2x＋10不恒成立．当a≠0时，ax2＋2x＋10恒成立⇔a0，Δ＝4－4a0⇔a1.所以“a＞1”是“不等式ax2＋2x＋10恒成立”的充要条件．【示例】已知关于x的方程x2－mx＋2m－3＝0的两根均大于1，求实数m的取值范围．寻找充要条件出错【错解】因为x2－mx＋2m－3＝0的根都大于1，所以得x1＋x22，x1x21，即m2，2m－31，解得m2，即m的取值范围为{m|m2}．【错因分析】①容易忽视条件“Δ≥0”；②将两根都大于1的充要条件误认为是x1＋x22，x1x21.实际上，x1＋x22，x1x21是x11，x21的必要不充分条件．【正解】设方程x2－mx＋2m－3＝0的两根为x1，x2.由题意知Δ≥0，x11，x21⇒Δ≥0，x1－1＋x2－10，x1－1x2－10.所以有Δ≥0，x1＋x22，x1x2－x1＋x2＋10，即m2－42m－3≥0，m2，2m－3－m＋10.所以m≥6.所以m的取值范围为{m|m≥6}．【警示】熟练掌握相关的数学知识和逻辑推理方法是正确求解充分条件、必要条件的基础和关键．1．四种方法判定充分、必要条件，在不易判断p是q的充分条件(即p⇒q)时，可以转向判断¬q⇒¬p；证明p是q的必要条件(即q⇒p)，可以证明¬p⇒¬q.2．求问题的充要条件(等价转化)．3．证明p是q的充要条件，要证明充分性、必要性两个方面．1．(2017年天津)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由2－x≥0，可得x≤2.由|x－1|≤1可得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2.因为{x|0≤x≤2}{x|x≤2}，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件．故选B.2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在△ABC中，由正弦定理可知a≤b⇔sinA≤sinB．故选C.3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|【答案】C【解析】a|a|与b|b|分别表示与a，b同向的单位向量，当a，b同向时，可以推出a|a|＝b|b|，选项A，B，D中a，b都可能反向．故选C．4．(2019年山西运城期末)已知“－1km”是“方程x2＋y2＋kx＋3y＋k2＝0表示圆”的充分条件，则实数m的取值范围是________．【答案】(－1,1]【解析】当方程x2＋y2＋kx＋3y＋k2＝0表示圆时，k2＋3－4k20，解得－1k1，所以－1m≤1，即实数m的取值范围是(－1,1]．