2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑术语 1.4 全称量词与存在量词 1.4.3 含有一

1．4.3含有一个量词的命题的否定课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．含有一个量词的全称命题的否定全称命题p綈p结论∀x∈M，p(x)全称命题的否定是□01∃x0∈M，綈p(x0)□02特称命题课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．含有一个量词的特称命题的否定特称命题p綈p结论∃x0∈M，p(x0)特称命题的否定是□03∀x∈M，綈p(x)□04全称命题课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．()(2)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．()(3)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．()答案(1)√(2)×(3)×答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“至多有一个”的否定为____________________________________．(2)已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则綈p是__________________________．(3)命题“∃x0∈Q，x20＝5”的否定是________(填“真”或“假”)命题．(4)已知命题p：∀x0，总有(x＋1)ex1，则綈p为________．答案(1)至少有两个(2)∃x0∈R，sinx01(3)真(4)∃x00，使得(x0＋1)ex0≤1答案课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1全称命题的否定例1判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)p：∀x∈0，π2，sinx＋1sinx≥2；(2)p：∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx是偶函数；(3)p：每个三角形至少有两个锐角．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)p是真命题，由x∈0，π2得sinx∈(0,1)，sinx＋1sinx2sinx·1sinx＝2，故p为真命题．綈p：∃x0∈0，π2，sinx0＋1sinx02.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)p是假命题，当m＝0时，f(x)才是偶函数．綈p：∃m0∈R，函数f(x)＝x2＋m0x不是偶函数．(3)p是真命题．綈p：有的三角形至多有一个锐角．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升1.对全称命题否定的两个步骤课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．2．全称命题否定后的真假判断方法全称命题的否定是特称命题，其真假性与全称命题相反；要说明一个全称命题是假命题，只需举一个反例即可．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】写出下列全称命题的否定，并判断真假．(1)p：正方形是矩形；(2)p：∀α∈R，都有cosπ2－α＝sinα.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)綈p：存在一个正方形不是矩形，这是假命题．(2)綈p：∃α0∈R，使得cosπ2－α0≠sinα0，这是假命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练例2判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)p：有一个奇数不能被3整除；(2)p：有些三角形的三个内角都是60°；(3)p：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)p是真命题，如5不能被3整除．綈p：任意一个奇数都能被3整除．(2)p是真命题，等边三角形的三个内角都为60°.綈p：任意三角形的三个内角不都为60°.(3)p是真命题，∵当α＝π4，β＝0时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.綈p：∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sinα＋sinβ.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升1.对特称命题否定的两个步骤(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．特称命题否定后的真假判断特称命题的否定是全称命题，其真假性与特称命题相反；要说明一个特称命题是真命题，只需要找到一个实例即可．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】写出下列特称命题的否定，并判断真假．(1)p：有的一元二次方程有实数根；(2)p：∃x0∈R，sinx0＋π2＝sinx0.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)綈p：所有的一元二次方程都没有实数根，这是假命题．(2)綈p：∀x∈R，sinx＋π2≠sinx，这是假命题，如sinπ4＋π2＝sinπ4.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3含有一个量词的命题的否定例3写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)q：存在一个实数x0，使得x20＋x0＋1≤0；(3)r：等圆的面积相等，周长相等．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是綈p：存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．注意到当Δ＝1＋4m0时，即m－14时，一元二次方程没有实数根，所以綈p是真命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)这一命题的否定形式是綈q：∀x∈R，都有x2＋x＋10.由x2＋x＋1＝x＋122＋340知，綈q是真命题．(3)这一命题的否定形式是綈r：存在二个等圆，其面积不相等或周长不相等．由平面几何知识知綈r是假命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升分清所给命题是全称命题还是特称命题是正确写出其否定的关键，同时要熟悉常用量词的否定形式．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：∀x1，log2x0；(2)p：直线l⊥平面α，则对任意l′⊂平面α，l⊥l′；(3)p：∀x01，使x20－2x0－3＝0.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)綈p：∃x01，log2x0≤0.∵当x1时，log2x0，∴綈p为假命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)綈p：直线l⊥平面α，∃l′⊂α，l与l′不垂直．∵直线l⊥平面α，l′⊂α，∴l⊥l′，∴綈p是假命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)綈p：∃x1，使x2－2x－3≠0.∵当x＝21时，x2－2x－3≠0，∴綈p是真命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究4求参数的取值范围例4已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0.若(綈p)∧(綈q)为真命题，求实数a的取值范围．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解]∵(綈p)∧(綈q)为真命题，∴綈p与綈q都是真命题，从而p与q都是假命题．∴“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有解”与“ax2＋ax＋10对一切x∈R恒成立”都是真命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练由关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有解，得a＝0或a≠0，4－4a≥0，即a＝0或a≤1且a≠0，∴a≤1.由ax2＋ax＋10对一切x∈R恒成立，得a＝0或a0，a2－4a0，即a＝0或0a4，∴0≤a4.由a≤1，0≤a4得0≤a≤1，故实数a的取值范围是[0,1]．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解法探究]此题有没有其他解法呢？课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解∵p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0，∴綈p：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0，綈q：∀x∈R，ax2＋ax＋10，由(綈p)∧(綈q)为真命题知，綈p与綈q都是真命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练由綈p为真命题得a＝0，或a≠0，4－4a≥0，故a≤1.由綈q为真命题得a＝0或a0，a2－4a0，故0≤a4.∴a≤1，0≤a4，解得0≤a≤1.故实数a的取值范围是[0,1]．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升含有一个量词的命题与参数范围的求解策略(1)对于全称命题“∀x∈M，af(x)(或af(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即af(x)max(或af(x)min)．(2)对于特称命题“∃x0∈M，af(x0)(或af(x0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即af(x)min(或af(x)max)．(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练4】已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)0”．命题q：“存在x∈R，使x2＋m29”．若命题“非p”与“q”均为真命题，求实数m的取值范围．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)0”，所以非p：“不等式f(x)≤0在实数集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命题q：“存在x∈R，使x2＋m29”，即不等式x29－m2在实数集上有解，故9－m20，所以－3m3.因为命题“非p”与“q”均为真命题，所以m的取值范围为(－3，－2]∪[2,3)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定.2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断.3.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握常见词语的否定形式.课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．命题“∃x0∈R,3x0≤0”的否定是()A．∀x∈R,3x≤0B．∃x0∈R,3x0≥0C．∃x0∈R,3x00D．∀x∈R,3x0答案D解析特称命题的否定是全称命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论即“≤”改为“”．故选D.答案解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．全称命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是()A．所有能被5整除的整数都不是奇数B．所有奇数都不能被5整除C．存在一个能被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数，不能被5整除答案C解析全称命题的否定是特称命题，而A，B是全称命题，所以A，B错误．因为“所有能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”，所以D错误，C正确．故选C.答案解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．对下列命题的否定，其中说法错误的是()A．p：∀x≥3