2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑术语 1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量

1．4.1全称量词1．4.2存在量词课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．全称量词和全称命题全称量词对所有的、对任意一个、、、符号全称命题含有的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为“”□01对一切□02对每一个□03任给□04∀□05全称量词□06∀x∈M，p(x)课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．存在量词和特称命题存在量词存在一个、至少有一个、、、、符号特称命题含有的命题形式“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号记为“”□07有一个□08对某个□09有些□10有的□11∃□12存在量词□13∃x0∈M，p(x0)课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个全称命题可以包含多个变量．()(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．()(3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．()答案(1)√(2)√(3)×答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)(教材改编P23T1,2)下列命题中，假命题是()A．∀x∈R,3x－20B．∀x∈N*，(x－2)20C．∃x∈R，lgx0≤2D．∃x∈R，tanx0＝2(2)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________(填“全称”或“存在”)量词．(3)“负数没有对数”是________(填“全称”或“特称”)命题．(4)若命题“∀x∈(3，＋∞)，xa”是真命题，则a的取值范围是________．答案(1)B(2)有些存在(3)全称(4)(－∞，3]答案课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1全称命题与特称命题的判断例1判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．(1)自然数的平方大于或等于零；(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；(3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)对于数列nn＋1，总存在正整数n0，使得an0与1之差的绝对值小于0.01.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)是全称命题，表示为∀x∈N，x2≥0.(2)是特称命题，表示为∃(x0，y0)∈{(x，y)|x2＋y2＝1}，满足|x0－y0＋1|2＝1.(3)是特称命题，∃f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数．(4)是特称命题，∃n0∈N*，|an0－1|0.01，其中an0＝n0n0＋1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】判断下列语句是全称命题，还是特称命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)有些素数的和仍是素数；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．解(1)可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故为特称命题．(3)含有存在量词“有些”，故为特称命题．(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2全称命题与特称命题的真假例2判断下列命题的真假．(1)有些三角形的重心在某一边上；(2)∃x0，T≠2π，使sin(x0＋T)＝sinx0；(3)∀x∈R，x2＋20；(4)所有的直线都有斜率．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)三角形的三条边的中线的交点叫做三角形的重心，所有三角形的重心都在三角形内部，所以有些三角形的重心在某一边上是假命题．(2)∃x0＝π4，T＝π2，使sinπ4＋π2＝cosπ4＝sinπ4＝22，所以是真命题．(3)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥20，即x2＋20.所以命题“∀x∈R，x2＋20”是真命题．(4)当直线的倾斜角等于90°时不存在斜率，故所有的直线都有斜率是假命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升1.全称命题的真假判断一般从全称命题为假命题入手，寻找使其为假命题的反例，找不到，再从证明∀x∈M，p(x)成立入手，判定其为真命题．2．特称命题的真假判断一般从特称命题为真命题入手，寻找使其为真命题的特例，找不到，再从证明∀x∈M，p(x)不成立入手，证明其为假命题．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】判断下列命题的真假．(1)任意两向量a，b，若a·b0，则a，b的夹角为锐角；(2)∃x0，y0为正实数，使x20＋y20＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉0，所以cos〈a，b〉0，又0≤〈a，b〉≤π，所以0≤〈a，b〉π2，即a，b的夹角为零或锐角．故它是假命题．(2)因为x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x0，y0为正实数，使x20＋y20＝0，故它是假命题．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3含有量词的命题的应用例3(1)已知命题“∀x∈[1,2]，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围；(2)已知命题q：∃x∈[0，π]，使得sinx＋cosx＝m有解为真命题，求实数m的取值范围．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)∵“∀x∈[1,2]，x2－m≥0”成立，∴x2－m≥0在x∈[1,2]恒成立．又y＝x2在[1,2]上单调递增，∴y＝x2－m的最小值为1－m.∴1－m≥0，得m≤1.∴实数m的取值范围是(－∞，1]．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)命题q为真，即方程sinx＋cosx＝m在x∈[0，π]上有解，设f(x)＝sinx＋cosx，∴m的取值范围就是f(x)＝sinx＋cosx在[0，π]上的值域．∵f(x)＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4.而x∈[0，π]，∴x＋π4∈π4，5π4，∴sinx＋π4∈－22，1，故f(x)∈[－1，2]，∴m的取值范围为[－1，2]．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[条件探究]若把例3(1)中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解∵“∃x∈[1,2]，x2－m≥0”成立，∴x2－m≥0在x∈[1,2]有解．又函数y＝x2在[1,2]上单调递增，∴y＝x2的最大值为22＝4.∴4－m≥0，即m≤4，∴实数m的取值范围是(－∞，4]．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】若方程cos2x＋2sinx＋a＝0有实数解，求实数a的取值范围．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解∵cos2x＋2sinx＋a＝0，∴a＝2sin2x－1－2sinx＝2(sin2x－sinx)－1，∴a＝2sinx－122－32.又－1≤sinx≤1，∴－32≤2sinx－122－32≤3.故当－32≤a≤3时，方程a＝2sinx－122－32有实数解，所以，所求实数a的取值范围是－32，3.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.有些全称命题和特称命题没有定义中的量词，需要自己“翻译”，找出其中的量词，才可以判断其是全称命题还是特称命题，进而再判断其真假.2.判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.3.判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题是假命题.课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．下列命题是“∀x∈R，x23”的另一种表述方法的是()A．有一个x∈R，使得x23B．对有些x∈R，使得x23C．任选一个x∈R，使得x23D．至少有一个x∈R，使得x23答案C解析“∀x∈R，x23”是全称命题，改写时应使用全称量词．答案解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．“a∥α，则a平行于平面α内的任一直线”是()A．全称命题B．特称命题C．不是命题D．真命题答案A解析由全称命题的定义知，命题是全称命题．故选A.答案解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．设非空集合A，B满足A⊆B，则()A．∃x0∈A，使得x0∉BB．∀x∈A，有x∈BC．∃x0∈B，使得x0∉AD．∀x∈B，有x∈A答案B解析因为非空集合A，B满足A⊆B，所以A中元素都在B中，即∀x∈A，有x∈B.答案解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练4．特称命题“∃x0∈R，|x0|＋2≤0”是________(填“真”或“假”)命题．答案假解析因为∀x∈R，|x|≥0，所以|x|＋2≥2，不存在x0∈R，使|x0|＋2≤0.答案解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练5．判断下列命题是全称命题还是特称命题？并判断其真假．(1)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；(2)每个二次函数的图象都与x轴相交；(3)若对所有的正实数，不等式m≤x＋1x都成立，则m≤2；(4)如果对任意的正整数n，数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b为常数)，那么数列{an}为等差数列．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)特称命题．∵x2＋x＋8＝x＋122＋3140，∴命题为假命题．(2)全称命题，假命题．如存在y＝x2＋x＋1与x轴不相交．(3)全称命题．∵x是正实数，∴x＋1x≥2x·1x＝2(当且仅当x＝1时“＝”成立)．即x＋1x的最小值是2，而m≤x＋1x，从而m≤2.所以这个全称命题是真命题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(4)全称命题．∵Sn＝an2＋bn，∴a1＝a＋b.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)＝2na＋b－a，又n＝1时，a1＝a＋b也满足上式，所以an＝2an＋b－a(n∈N*)，从而数列{an}是等差数列，即这个全称命题是真命题．答案本课结束