2019-2020学年高中数学 第一讲 坐标系 1-1 平面直角坐标系课件 新人教A版选修4-4

第一讲坐标系第一节平面直角坐标系要点1两点间的距离公式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝．要点2中点坐标公式：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2中点为M(x，y)，则x＝，y＝．要点3伸缩变换：设点P(x，y)，在变换φ：x′＝（λ0），y′＝（μ0）的作用下，点P(x，y)对应到点P(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中坐标伸缩变换，简称．λxμy伸缩变换课时学案题型一用坐标法解决平面几何问题例1已知▱ABCD，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．【思路分析】解答本题可以运用坐标方法，先在▱ABCD所在的平面内建立平面直角坐标系，设出点A、B、C、D的坐标，再由距离公式完成证明．也可用向量法证明．【证明】方法一：坐标法以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0，0)．设B(a，0)，C(b，c)，则AC的中点E(b2，c2)，由对称性知D(b－a，c)．∴|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2.∴|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab.∴|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．方法二：向量法在▱ABCD中，AC→＝AB→＋AD→，两边平方，得AC→2＝|AC→|2＝AB→2＋AD→2＋2AB→·AD→.同理得BD→2＝|BD→|2＝BA→2＋BC→2＋2BA→·BC→.以上两式相加，得|AC→|2＋|BD→|2＝2(|AB→|2＋|AD→|2)＋2BC→·(AB→＋BA→)＝2(|AB→|2＋|AD→|2)，即|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．探究1本例是平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．方法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．方法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．思考题1已知△ABC中，点D为BC边的中点，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．【证明】以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，则D(a＋b2，c2)．∴|AD|2＋|BD|2＝（a＋b）24＋c24＋（a－b）24＋c24＝12(a2＋b2＋c2)．∴|AB|2＋|AC|2＝a2＋b2＋c2＝2(|AD|2＋|BD|2)．题型二平面直角坐标系中的伸缩变换例2在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：x′＝2x，y′＝4y.(1)求点A(－3，4)经φ变换所得A′点的坐标；(2)点B经φ变换得到点Β′(－3，12)，求点B的坐标；(3)求直线y＝2x经过φ变换后所得直线l′的方程；(4)求双曲线C：x2－y264＝1经过φ变换后所得曲线C′的方程．【思路分析】明确原来的点与变换后的点的坐标之间的关系，利用方程思想求解．【解析】(1)设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：x′＝2x，y′＝4y，得到x′＝－6，y′＝16，∴A′(－6，16)．(2)设B(x，y)，由伸缩变换φ：x′＝2x，y′＝4y，得x＝x′2＝－32，y＝y′4＝18，∴B(－32，18)．(3)设直线l′上任一点P(x′，y′)，由伸缩变换φ：x′＝2x，y′＝4y，得x＝x′2，y＝y′4，∴y′4＝2·x′2，即l′的方程为y′4＝x′，即y＝4x.(4)设曲线C′上任一点P(x′，y′)，由伸缩变换φ：x′＝2x，y′＝4y，得x＝x′2，y＝y′4，∴C′：x′24－y′21024＝1，即x24－y21024＝1.探究2联系类型变换前变换后点P(x，y)(λx，μy)曲线f(x，y)＝0f(1λx′，1μy′)＝0思考题2求伸缩变换，使得满足下列条件．(1)曲线y＝2sinx4变换成y＝sinx；(2)圆x2＋y2＝1变换成椭圆x29＋y24＝1.【解析】(1)将变换后的方程写为y′＝sinx′，设φ为x′＝λx，y′＝μy代入y′＝sinx′，得μy＝sin(λx)．即y＝1μsin(λx)，与y＝2sinx4比较得λ＝14，μ＝12∴所求伸缩变换φ为x′＝14x，y′＝12y.(2)将变换后的方程x29＋y24＝1改写为x′29＋y′24＝1.设伸缩变换φ为x′＝λx，y′＝μy代入上式，得λ29x2＋μ24y2＝1.即(λ3)2·x2＋(μ2)2·y2＝1与x2＋y2＝1比较得（λ3）2＝1，（μ2）2＝1，∴λ＝3，μ＝2，∴伸缩变换为x′＝3x，y′＝2y.例3要得到y＝sinxcosx的图象，只需将函数y＝sinx的图象()A．横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12B．横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍C．横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍D．横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12【答案】A思考题3将x26＋y2＝1的横坐标缩短为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为()A.x23＋y24＝1B.x232＋y24＝1C.x212＋2y2＝1D.x23＋2y2＝1【答案】B